Integrale de mișcare

În mecanică , funcția unde - coordonate generalizate , - viteze generalizate ale sistemului, se numește integrală de mișcare (a sistemului dat), dacă pe fiecare traiectorie a acestui sistem, dar funcția nu este identic constantă. $I=I(q, \dot q),$ $q$ $\punct q$ $I(q, \dot q)=\mathrm{const}$ $q(t)$ $I(q, \dot q)$

Integralele de mișcare care au aditivitate sau aditivitate asimptotică se numesc legi de conservare .

Integrale de mișcare în mecanica clasică

În mecanica clasică, pentru un sistem închis de particule în spațiul tridimensional , între care nu există conexiuni rigide, este posibil să se formeze integrale independente de mișcare - acestea sunt primele integrale ale sistemului corespunzător de ecuații Hamilton . Dintre acestea, trei sunt aditive: energie , moment , moment unghiular [1] . $N$ $6N-1$

Aplicație

Integralele de mișcare sunt utile deoarece unele proprietăți ale acestei mișcări pot fi cunoscute chiar și fără a integra ecuațiile mișcării . În cazurile cele mai de succes, traiectoriile de mișcare reprezintă intersecția izosuprafețelor integralelor corespunzătoare de mișcare. De exemplu, construcția Poinsot arată că, fără cuplu, rotația unui corp rigid este intersecția unei sfere (conservarea momentului unghiular total) și a unui elipsoid (conservarea energiei) - o traiectorie care este dificil de derivat și de vizualizat. Prin urmare, găsirea integralelor de mișcare este un obiectiv important în mecanică .

Metode pentru găsirea integralelor de mișcare

Există mai multe metode pentru găsirea integralelor de mișcare:

Cea mai simplă, dar și cea mai puțin riguroasă metodă este o abordare intuitivă, adesea bazată pe date experimentale și pe dovezi matematice ulterioare a conservării mărimii.

Ecuația Hamilton-Jacobi oferă o metodă riguroasă și directă pentru găsirea integralelor de mișcare, mai ales dacă Hamiltonianul ia forma funcțională familiară în coordonate ortogonale .

O altă abordare este de a juxtapune cantitatea conservată și un fel de simetrie lagrangiană . Teorema lui Noether oferă o modalitate sistematică de a deriva astfel de mărimi din simetrii. De exemplu, legea conservării energiei rezultă din faptul că Lagrangianul nu se modifică în raport cu o deplasare în timp, legea conservării impulsului este echivalentă cu invarianța Lagrangianului în raport cu o deplasare a originii în spațiu ( simetria translațională ), iar legea conservării momentului unghiular decurge din izotropia spațiului (lagrangianul nu se schimbă cu rotațiile coordonatelor sistemului). Este adevărat și invers: fiecărei simetrii a Lagrangianului îi corespunde o integrală de mișcare.

O cantitate este conservată dacă nu depinde în mod explicit de timp și parantezele sale Poisson cu Hamiltonianul sistemului sunt egale cu zero: $A$

{\frac {dA}{dt)}={\frac {\partial A}{\partial t)}+[A,H]=0

Un alt rezultat util este cunoscut sub numele de teorema lui Poisson , care afirmă că dacă există două integrale de mișcare și , atunci parantezele Poisson ale acestor două mărimi sunt de asemenea o integrală a mișcării, cu condiția să se obțină o expresie independentă de integrale. $A$ $B$ $[A, B]$

Un sistem cu grade de libertate și integrale de mișcare astfel încât parantezele Poisson ale oricărei perechi de integrale să fie zero este cunoscut ca sistem complet integrabil . Se spune că un astfel de set de integrale de mișcare este în involuție unul cu celălalt. $n$ $n$

În hidrodinamică

În mișcarea liberă (fără forțe externe) a unui fluid ideal (fără disipare, fără vâscozitate) incompresibil (se păstrează volumul oricărei piese), se păstrează următoarele cantități:

energie cinetică (vezi și integrala Bernoulli ) $\int\limits_V\vec{v}^2\,dV$
helicitatea hidrodinamică $\int\limits_V\vec{v}\cdot\operatorname{rot}\,\vec{v}\,dV$

Dacă mișcarea este bidimensională, atunci se conserva și enstrofia . $\int_{S} \left(\nabla\times\vec{v}\right)^{2}dS$

În magnetohidrodinamica ideală , prima integrală (energia totală ca sumă a energiei cinetice a fluidului și a energiei câmpului magnetic) este păstrată, a doua ( helicity hidrodinamică ) dispare, dar apar alte două integrale de mișcare:

Elicitatea câmpului magnetic este , unde este potențialul magnetic vectorial . $\int\limits_V\vec{A}\cdot\operatorname{rot}\,\vec{A}$ $\vec{A}$
Elicitate încrucișată - $\int\limits_V\vec{v}\cdot\vec{B}$

În mecanica cuantică

Mărimea observată Q este conservată dacă comută cu Hamiltonianul H , care nu depinde în mod explicit de timp. De aceea

{\frac {d}{dt}}\langle \psi |{\hat {Q}}|\psi \rangle ={\frac {i}{\hbar }}\langle \psi |\left[ {\hat {\mathcal {H}}},{\hat {Q}}\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}|\psi \rangle

unde se foloseşte relaţia de comutaţie

[\hat{\mathcal H},\hat{Q}] = \hat{\mathcal H} \hat{Q} - \hat{Q} \hat{\mathcal H}

Concluzie

Să fie unele observabile , care depind de poziție, impuls și timp $Q$

Q=Q(x,p,t)

și există, de asemenea, o funcție de undă , care este o soluție a ecuației Schrödinger corespunzătoare

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t)}={\hat {\mathcal {H}}}\psi

Pentru a calcula derivata în timp a valorii medii a observabilului se folosește regula de diferențiere a produsului , iar rezultatul după unele manipulări este prezentat mai jos. $Q$

\frac{d}{dt} \langle Q \rangle \, = \frac{d}{dt} \langle \psi | \hat{Q} | \psi \rangle \, =

= \langle \frac{\partial \psi}{\partial t} | \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q}}{\partial t} | \psi \rangle + \langle \psi | \hat{Q} | \frac{\partial \psi}{\partial t} \rangle\, =

= \frac{i}{\hbar} \langle \hat{\mathcal H} \psi | \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q} }{\partial t} | \psi \rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi | \hat{Q} | \hat{\mathcal H} \psi \rangle \, =

= \frac{i}{\hbar} \langle \psi | \hat{\mathcal H} \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q} }{\partial t} | \psi \rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi | \hat{Q} \hat{\mathcal H} | \psi \rangle \,=

={\frac {i}{\hbar }}\langle \psi |\left[{\hat {\mathcal {H}}}, {\hat {Q}}\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {\partial {\hat {Q))}{\partial t))|\psi \rangle

Drept urmare, obținem

{\frac {d}{dt}}{\hat {Q}}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {Q}}\right]+{\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}

Relația cu haosul cuantic și integrabilitatea cuantică

În mecanica clasică, există teorema lui Liouville , conform căreia un sistem în care numărul de integrale ale mișcării în involuție coincide cu numărul de grade de libertate poate fi complet integrat (rezolvat) prin metoda separării variabilelor în Ecuația Hamilton-Jacobi. Un astfel de sistem este un sistem integrabil . Traiectoria unui astfel de sistem în spațiul de fază -dimensional poate fi reprezentată în variabile adecvate ( variabile unghi-acțiune ) ca o înfășurare pe un tor -dimensional. Un sistem în care numărul de integrale este mai mic decât numărul de grade de libertate prezintă un comportament haotic , adică traiectorii în spațiul fazelor cu condiții inițiale apropiate pot diverge exponențial. Odată cu o ușoară deformare a sistemului integrabil într- unul neintegrabil, torul -dimensional din spațiul fazelor -dimensional este distrus ("neclar"), transformându-se, de exemplu, într-un atractor ciudat . $n$ $2n$ $n$ $n$ $2n$

Analogul cuantic al teoremei Liouville este necunoscut, cu toate acestea, chiar și în cazul cuantic, sistemele pot fi împărțite în integrabile și neintegrabile. Prin integrabil, în acest caz, înțelegem sisteme care admit o soluție exactă în sensul posibilității de a găsi toate valorile și funcțiile proprii ale Hamiltonianului într-o formă rezonabilă. Este cunoscut un analog cuantic al metodei de separare a variabilelor, dar aplicarea sa nu este atât de universală în cazurile clasice. Exemplele cunoscute arată că în sistemele integrabile cuantice, precum și în cele clasice, există integrale de mișcare care comută între ele. Cu toate acestea, prezența integralelor de mișcare, aparent, nu garantează încă integrabilitatea cuantică. Problema cuantizării sistemelor integrabile este căutarea unui astfel de sistem cuantic care să admită o soluție exactă și să dea un sistem clasic dat în limita clasică. Există, de asemenea, exemple de sisteme cuantice integrabile care nu au analogi clasici integrabili. Acest lucru se întâmplă dacă sistemul poate fi rezolvat pentru valori speciale ale parametrilor hamiltonianului cuantic sau când sistemul nu permite o descriere clasică (cum ar fi un sistem de spini ). $n$ $n$

Toate celelalte sisteme cuantice prezintă semne de haos cuantic într-o măsură sau alta . Sistemele haotice clasice permit cuantizarea în sensul că spațiul lor de stare și hamiltonianul pot fi definite corect, totuși, atât sistemele haotice clasice, cât și sistemele cuantice nu par să permită o soluție exactă. Ele pot fi investigate prin metode aproximative precum teoria perturbațiilor și metoda variațională , precum și investigate numeric prin metode de dinamică moleculară în cazul clasic sau diagonalizarea numerică a hamiltonianului în cazul cuantic.

Vezi și

Note

↑ Saveliev, 1987 , p. 74.

Literatură

Griffiths, David J.Introducere în mecanica cuantică (ed. a 2-a) (engleză) . — Prentice Hall , 2004.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecanica. - Ediția a IV-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988. — 215 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul I). — ISBN 5-02-013850-9 .
Arnold VI Metode matematice ale mecanicii clasice. - a 5-a ed. - M. : Editorial URSS, 2003. - ISBN 5-354-00341-5 .
Savelyev I.V. Curs de fizică generală. T. 1. Mecanica. Fizica moleculară. — M .: Nauka, 1987. — 432 p.