Formula de interpolare a lui Brahmagupta

Formula de interpolare a lui Brahmagupta este o formulă de interpolare de ordinul al doilea polinomial, găsită de matematicianul și astronomul indian Brahmagupta (598-668) la începutul secolului al VII-lea d.Hr. O descriere poetică a acestei formule în sanscrită se găsește în partea suplimentară a Khandakhodyaka, o lucrare finalizată de Brahmagupta în 665 [1] . Același cuplet se găsește în lucrarea sa anterioară Dhyana-graha-adhikara, a cărei dată exactă nu a fost stabilită. Cu toate acestea, interconectarea internă a lucrărilor sugerează că a fost creată mai devreme decât lucrarea principală a omului de știință, finalizată în 628, „ Brahma-sphuta-siddhanta ”, astfel încât poate fi atribuită crearea unei formule de interpolare de ordinul doi. până în primul sfert al secolului al VII-lea [1] . Brahmagupta a fost primul care a găsit și a folosit formula diferențelor finite de ordinul doi în istoria matematicii [2] [3] .

Formula lui Brahmagupta coincide cu formula de interpolare de ordinul doi a lui Newton , care a fost găsită (redescoperită) după mai bine de o mie de ani.

Provocare

Ca astronom, Brahmagupta a fost interesat să obțină valori precise pentru sinus din numărul mic de valori tabulate cunoscute pentru această funcție. Astfel, el s-a confruntat cu sarcina de a găsi valoarea , în funcție de valorile funcției disponibile în tabel: $f(x)$ $x_{r}<x<x_{{r+1}}$

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{r}$	$x_{r+1}$	$x_{r+2}$	…	$x_{n}$
$f(x_r)$	$f_1$	$f_{2}$	…	$f_{r}$	$f_{r+1}$	$f_{r+2}$	…	$f_n$

Cu condiția ca valorile funcției să fie calculate în puncte cu un pas constant , ( pentru toți ), Aryabhata a sugerat utilizarea primelor diferențe finite (tabulare) pentru calcule: $h$ $x_{{r+1}}-x_{r}=h$ $r$

D_{r}=f_{{r+1}}-f_{r}

Matematicienii înainte de Brahmagupta au folosit formula de interpolare liniară evidentă

f(x)=f_{r}+tD_{r}

unde . $t=(x-x_{r})/h$

Brahmagupta a înlocuit această formulă cu o funcție arc de diferențe finite, ceea ce face posibilă obținerea unor valori mai precise ale funcției interpolate în ordine. $D_{r}$

Algoritmul de calcul al lui Brahmagupta

În terminologia lui Brahmagupta, diferența se numește segmentul trecut (गत काण्ड), segmentul util se numește (भोग्य काण्ड). Lungimea segmentului până la punctul de interpolare în minute se numește ciot (विकल). Noua expresie care trebuie înlocuită se numește segmentul util corect (स्फुट भोग्य काण्ड). Calculul segmentului util corect este descris în cupletul [4] [1] : $D_{{r-1}}$ $D_{r}$ $x-x_{r}$ $D_{r}$

Conform comentariului lui Bhuttopala ( secolul X), versurile sunt traduse după cum urmează [ 1 ] [ 5 ] : Dacă mai mult, atunci scădeți. Veți obține diferența utilă corectă [6] .

900 de minute (15 grade) este intervalul dintre argumentele valorilor din tabelul sinusului folosit de Brahmagupta. $h$

Formula lui Brahmagupta în notație modernă

În notația modernă, algoritmul de calcul Brahmagupta este exprimat prin formulele:

{\begin{aligned}f(x)&=f_{r}+t({\frac {D_{r}+D_{{r-1}}}{2}}+t{\frac {D_{{ r}}-D_{{r-1}}}{2}})\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{{r-1}}}{2}} +t^{2}{\frac {D_{{r}}-D_{{r-1}}}{2}}.\end{aliniat}}

Aceasta este formula de interpolare de ordinul doi a lui Newton [7] [8] .

Dovada

Nu se știe cum a obținut Brahmagupta această formulă [1] . În timpul nostru, astfel de formule sunt dovedite folosind extinderea funcțiilor în dreptul de a crește egalități într- o serie Taylor la un punct . Cu toate acestea, formula poate fi demonstrată și prin metode elementare: după înlocuire, formula Brahmagupta stabilește o parabolă care trece prin trei puncte . Pentru a obține această formulă, este suficient să găsim coeficienții acestei parabole prin rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare definite de aceste puncte. $f(x+kh),k=1,2,...$ $X$ $t=(x-x_{r})/h$ $(x_{{r-1}},f_{{r-1}}),(x_{r},f_{r}),(x_{{r+1}},f_{{r+1}} )$

Formula de precizie

Calculul computerizat arată că având un tabel de 7 valori ale sinusului la nodurile cu un pas de 15 grade, Brahmagupta ar putea calcula această funcție cu o eroare maximă de cel mult 0,0012 și o eroare medie de cel mult 0,00042.

Note

↑ 1 2 3 4 5 Gupta, RC Interpolarea de ordinul doi în matematica indiană până în secolul al XV-lea // Indian Journal of History of Science: journal. — Vol. 4 , nr. 1 & 2 . - P. 86-98 .
↑ Van Brummelen, GlenMatematica cerurilor și a pământului: istoria timpurie a trigonometriei (engleză) . - Princeton University Press , 2009. - P. 329. - ISBN 9780691129730 . (pag. 111)
↑ Meijering, Erik. O cronologie a interpolării de la astronomia antică la procesarea modernă a semnalului și a imaginilor // Proceedings of IEEE : jurnal. - 2002. - Martie ( vol. 90 , nr. 3 ). - P. 319-342 . - doi : 10.1109/5.993400 .
↑ Dhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya, 17; Khandaka Khadyaka, IX, 8
↑ Raju, C K. Fundamentele culturale ale matematicii: natura demonstrației matematice și transmiterea calculului din India în Europa în secolul al XVI-lea. CE (engleză) . — Pearson Education India, 2007. - P. 138-140. — ISBN 9788131708712 .
↑ Partea finală a algoritmului se datorează faptului că matematicienii înainte de Brahmagupta și mult timp după el nu au folosit conceptul de număr negativ. Prin urmare, nu s-a calculat cu adevărat diferența, ci modulul diferenței , iar apoi acest număr nenegativ a fost adăugat sau scăzut, în funcție de semnul diferenței, determinat folosind inegalitatea. ${\frac {|D_{{r-1}}-D_{{r}}|}{2}}$
↑ Milne-Thomson, Louis Melville. Calculul diferențelor finite (neopr.) . - Editura AMS Chelsea, 2000. - S. 67-68. — ISBN 9780821821077 .
↑ Hildebrand, Francis Begnaud. Introducere în analiza numerică (neopr.) . - Courier Dover Publications , 1987. - S. 138 -139. — ISBN 9780486653631 .