Formula de interpolare Gauss

Formula de interpolare Gauss este o formulă care utilizează nodurile cele mai apropiate de punctul de interpolare ca noduri de interpolare. Este construit folosind formula de interpolare a lui Newton . $X$

Să fie necesar să interpolăm o anumită funcție . Dacă , unde este un punct inițial, , atunci formula $f$ $x=x_{0}+th$ $x_{0}$ $h>0$

G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t-1) \over 2!}+\ldots +f_{1/2}^{2n-1}{\frac {t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2 }]}{(2n-1)!}}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2} ](tn)\peste(2n)!},

scris de noduri se numește formula Gauss pentru interpolare directă și formula $x_{0},~x_{0}+h,~x_{0}-h,\ldots ,~x_{0}+nh,~x_{0}-nh$

G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{-1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t+1) \ peste 2!}+\ldots +f_{-1/2}^{2n-1}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2} ] \peste (2n-1)!}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}]( t+n)\peste(2n)!},

scrisă în noduri se numește formula Gauss pentru interpolarea înapoi . $x_{0},~x_{0}-h,~x_{0}+h,\ldots ,~x_{0}-nh,~x_{0}+nh$

Ambele formule folosesc diferențe finite definite după cum urmează:

f_{i}=f(x_{i}),\;f_{i+1/2}^{1}=f_{i+1}-f_{i},\;f_{i}^ {m}=f_{i+1/2}^{m-1}-f_{i-1/2}^{m-1}

Avantajul formulei de interpolare Gauss este că această alegere a nodurilor de interpolare oferă cea mai bună estimare a termenului rămas în comparație cu orice altă opțiune, iar ordonarea nodurilor pe măsură ce se apropie de punctul de interpolare reduce eroarea de calcul a interpolării.

Literatură

Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Metode de calcul. Volumul I. - ed. a II-a, stereotip - M .: Fizmatgiz . 1962.
Bakhvalov N. S. Metode numerice, M., 1973.