Serii de interpolare

Serii de interpolare au intrat în matematică în principal datorită lui Newton . Primele exemple ale acestora sunt seria de interpolare infinită a lui Newton și seria Taylor . În secolul al XVIII-lea. Euler , Lagrange și Laplace au folosit pe scară largă seria de interpolare infinită ca instrument de analiză matematică , în secolul al XIX-lea. — Gauss , Abel și Cauchy . La sfârşitul secolului al XIX-lea. generalizarea problemelor de interpolare a servit ca una dintre sursele problemei momentelor în lucrările lui Cebyshev , Stieltjes și Markov .

Construcția unei serii de interpolare, sau proces de interpolare , este determinată de o succesiune de funcționale liniare continue într-un spațiu topologic liniar. Mai mult, există și o astfel de secvență de funcții care ${\Phi _{i}}~(i=0,1,2,\ldots )$ $\textstyle {\varphi _{j}}~(j=0,1,2,\ldots )$

\Phi _{i}[\varphi _{j}]=\delta _{ij},

unde este simbolul Kronecker ( , dacă ; altfel ). Secvența se numește baza polinoamelor fundamentale ale procesului de interpolare. Seria de interpolare a unei funcții este expresia formală $\textstyle \delta _{ij)$ $\textstyle \delta _{ij}=1$ $\textstyle i=j$ $\textstyle \delta _{ij}=0$ $\textstyle {\varphi _{j}(x))$ $\textstyle f(x)$

\sum _{i=k}^{\infty }\Phi _{k}[f]\varphi _{k}(x).

Dacă această serie converge, atunci suma ei satisface egalitățile $\textstyle S(x)$

\textstyle \Phi _{k}[S(x)]=\Phi _{k}[f(x)]

căci indiferent dacă suma funcției inițiale este egală sau nu. Totalitatea acestor egalități exprimă o generalizare a problemei obișnuite de interpolare a unei funcții din valorile sale într-o succesiune de puncte. $k=0,1,2,\ldots$ $\textstyle S(x)$ $\textstyle f(x)$

Literatură

Evgrafov M. A. Problema de interpolare Abel-Goncharov. Moscova: Gostekhizdat, 1954.
Akhiezer N. I. Problema clasică a momentelor. Moscova: Fizmatlit, 1961.
Ibragimov II Metode de interpolare a funcțiilor și unele dintre aplicațiile acestora. Moscova: Nauka, 1971.
Kerin M. G., Nudelman A. A. Problema momentului Markov și problemele extreme. Moscova: Nauka, 1973.
Golovinsky IA Din istoria seriei de interpolare. // Cercetări istorice și matematice. Moscova: Nauka, vol. XXII, 1977, p. 65-81.
Seria de interpolare Golovinsky IA Laplace. // Cercetări istorice și matematice. Moscova: Nauka, vol. XXIV, 1979, p. 104-120.