Formula iterativă a lui Heron

Formula iterativă a lui Heron are forma

x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\

unde a este un număr pozitiv fix și a este orice număr pozitiv. $x_{1}$

Formula iterativă definește o secvență descrescătoare (începând de la al 2-lea element), care, pentru orice alegere , converge rapid către valoarea ( rădăcină pătrată a lui ), i.e. $x_{1}$ ${\sqrt {a}}$

\lim _{{n\rightarrow \infty }}x_{n}={\sqrt {a}}

Această formulă poate fi obținută prin aplicarea metodei lui Newton la rezolvarea ecuației . $ax^{2}=0$

Exemplu

Să încercăm să calculăm rădăcina pătrată a lui 25 folosind rotunjirea în calcule. Fie ca prima noastră estimare pentru valoare să fie valoarea 3. ${\sqrt {25}}$

n	$x_{n}$	$x_{{n+1}}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\$	Valoare aproximativă $x_{{n+1}}$
unu	3	${\frac {1}{2}}~\left(3+{\frac {25}{3}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(3+8,33)={\frac {1}{2}}\cdot 11,33\aproximativ 5,67$
2	5,67	${\frac {1}{2}}~\left(5,67+{\frac {25}{5,67}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5,67+4,41)={\frac {1}{2}}\cdot 10,08=5,04$
3	5.04	${\frac {1}{2}}~\left(5,04+{\frac {25}{5,04}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5,04+4,96)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5$
patru	5	${\frac {1}{2}}~\left(5+{\frac {25}{5}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5+5)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5$

Interpretare geometrică

Această formulă are o interpretare geometrică simplă. Se consideră un dreptunghi cu aria a și latura x 1 . Vom efectua pătratul iterativ. Și anume, vom face o latură a noului dreptunghi egală cu media aritmetică a ambelor părți ale pasului precedent. Și luăm a doua latură astfel încât aria noului dreptunghi să fie din nou egală cu a . În următorii pași, vom repeta același proces.

Formula iterativă a lui Heron

Exemplu

Interpretare geometrică

Literatură