Fluctuația funcției

Oscilația unei funcții pe o mulțime este cea mai mică limită superioară a modulului diferenței dintre valorile unei funcții pe toate perechile posibile de puncte . $E$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\în$ $E$

Oscilația unei funcții într-un punct este limita oscilației unei funcții peste baza vecinătăților punctului dat.

Definiție

Mărimea se numește oscilația funcției pe mulțime . $\omega (f,E)=\sup _{{x_{1},x_{2}\in E}}|f(x_{1})-f(x_{2})|$ $f$ $E$

Dacă fixăm acum , atunci putem determina oscilația funcției pe mulțime ; funcția este o funcție care nu crește la și mărginită mai jos, deci $\delta>0$ $f$ $U_{{E}}^{{\delta }}(a)$ $\omega (f,a,\delta )=\omega \left(f,U_{{E}}^{{\delta }}(a)\right)$ $\delta \to +0$

sau are o limită finită la , $\delta \to +0$
sau pentru orice va fi . $\delta>0$ $\omega (f,a)=+\infty$

Mărimea se numește oscilația funcției în punctul . $\omega (f,a)\colon =\lim _{{\delta \to 0+}}\omega (f,U_{{E}}^{{\delta }}(a))$ $f$ $A$

Proprietăți

Funcția este continuă la punctul limită pentru mulțime dacă și numai dacă oscilația sa în punctul dat este egală cu zero: $f\colon E\la {\mathbb {R}}$ $a\în E$ $E$

f\în C(\{a\})\Leftrightarrow \omega (f,a)=0

Funcția este continuă pe set dacă și numai dacă pentru oricare există un element de bază , a cărui fluctuație va fi mai mică decât cea dată : $f\colon E\la {\mathbb {R}}$ $E$ $\varepsilon >0$ $\mathbb {B}$ $\varepsilon$

f\in C(E)\Leftrightarrow \exists B\in {\mathbb {B}}\colon \omega (f,B)<\varepsilon

Vezi și

Modulul de continuitate

Fluctuația funcției

Definiție

Proprietăți

Vezi și

Note

Link -uri