Curba Eudoxus

Curba Eudoxus ( greacă : καμπύλη [γραμμή], care se traduce prin „curbă [linie]”) este o curbă cu o ecuație în coordonate carteziene

x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),

din care se exclude solutia x = y = 0 .

Parametrizări alternative

În sistemul de coordonate polar , curba Eudoxus are ecuația

r=a\sec ^{2}\theta .

În mod echivalent, curba are o reprezentare parametrică

x=a\sec(t),\quad y=a\tan(t)\sec(t).

Istorie

Această curbă de gradul al patrulea a fost studiată de astronomul și matematicianul grec Eudoxus din Cnidus (408-347 î.Hr.) în legătură cu problema clasică a dublării cubului .

Proprietăți

Curba Eudoxus este simetrică atât față de axa x , cât și față de axa y . Intersectează axa x în puncte (± a ,0). Curba are puncte de inflexiune

\left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)

(patru puncte de inflexiune, câte unul în fiecare cadran). Jumătatea superioară a curbei se apropie asimptotic ca și, de fapt, putem scrie $x^{2}/aa/2$ $x\la \infty$

y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac { x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x} }\dreapta)^{2n},

Unde

C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}

este al- lea număr catalan . $n$

Note

Literatură

J. Dennis Lawrence. Un catalog de curbe plane speciale . - Dover Publications, 1972. - S. 141-142 . - ISBN 0-486-60288-5 .

Link -uri

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Kampyle of Eudoxus” , arhiva MacTutor History of Mathematics , Universitatea din St Andrews .
Weisstein, Eric W. Kampyle de la Eudoxus (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .