Elemente maxime și minime

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 30 aprilie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Un element dintr-o mulțime parțial ordonată se numește element maxim dacă $M$ $A$

$\forall a\in A\;(a\geqslant M\Rightarrow a=M).$

În mod similar, se spune că un element este minim dacă $m\in A$

$\forall a\in A\;(a\leqslant m\Rightarrow a=m).$

Se scrie ca (în consecință, proprietatea de minimalitate este scrisă ca ). În cazul unei mulțimi ordonate liniar (de exemplu, în cazul unei submulțimi a dreptei reale cu o ordine naturală), conceptul de element maxim (respectiv minim) coincide cu conceptul de cel mai mare (respectiv cel mai mic ). ), dar în cazul general aceste concepte diferă: elementul cel mai mare este întotdeauna maximul, invers nu este întotdeauna adevărat, deoarece pentru un element maxim pot exista elemente care sunt incomparabile cu acesta. $M=\max A$ $m=\min A$ $\mathbb {R}$

Nu există un element maxim al unei submulțimi decât dacă este mărginit de sus. Chiar dacă această mulțime este mărginită de sus, poate să nu existe nici un element maxim (deși atât infim , cât și supremum există pentru orice mulțime mărginită). De exemplu, nu există un element minim sau maxim pentru un interval . $\mathbb {R}$ $A=\stânga({a,b}\dreapta)$

Literatură

Ivanov G. E. Prelegeri de analiză matematică. Partea 1. - M . : MIPT , 2000. - 359 p. - 800 de exemplare. — ISBN 5-7417-0147-7 .

Vezi și

Argumente de maximizare și minimizare