Metoda crinului

Metoda lui Lily este o metodă grafică pentru găsirea rădăcinilor reale ale polinoamelor de grad arbitrar, o reprezentare grafică a schemei lui Horner .

Istorie

Metoda a fost propusă de inginerul austriac Eduard Liel în 1867 [1] și generalizată în lucrarea sa ulterioară. [2]

Descrierea metodei

• Rezolvarea ecuației 2x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 1,5x + 0,75 = 0.

• Nu este o soluție a ecuației 2x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 1,5x + 0,75 = 0.

• Trei rădăcini -1/2, -1/√2, 1/√2 ale polinomului 4 x 3  + 2 x 2  - 2 x  - 1. Rădăcinile corespund trei linii poligonale înscrise.

O linie poligonală dreptunghiulară este trasată de la originea coordonatelor. Prima verigă este desenată spre dreapta, lungimea ei este egală cu cel mai mare coeficient; dacă este negativă, atunci legătura se termină la stânga originii. De la sfârșitul primului segment, următorul segment este întocmit cu valoarea celui de-al doilea coeficient, apoi spre stânga cu valoarea celui de-al treilea, în jos cu valoarea celui de-al patrulea și așa mai departe. Secvența de direcții se schimbă într-un ciclu spre dreapta, sus, stânga, jos, apoi se repetă. Astfel, fiecare rotație este în sens invers acelor de ceasornic (dacă coeficienții sunt pozitivi). Procesul continuă pentru fiecare coeficient al polinomului, inclusiv zerourile. Pentru un polinom de gradul al n -lea , obținem o linie întreruptă cu n  + 1 legături.

Polilinia rezultată este înscrisă cu o polilinie dreptunghiulară care leagă capetele poliliniei originale cu vârfuri situate secvenţial pe continuările legăturilor poliliniei originale. Panta poliliniei înscrise, luată cu semnul opus, este rădăcina polinomului original. Mai mult, orice rădăcină reală poate fi obținută în acest fel.

Aplicații

• În 1936, Margarita Belokh a folosit metoda lui Lily în rezolvarea ecuațiilor cubice folosind origami . [3]
  • Aceeași idee este folosită pentru a demonstra că rădăcinile reale ale unei ecuații de orice grad pot fi găsite folosind pliuri origami -fold. [patru]

Note

1. ↑ M.E. Lill. Resolution graphique des équations numériques de tous degrés à une seule inconnue, et description d'un instrument inventé dans ce but  (franceză)  // Nouvelles Annales de Mathématiques :revistă. - 1867. - Vol. 2 . - P. 359-362 .
2. ↑ M.E. Lill. Résolution graphique des équations algébriques qui ont des racines imaginaires  (franceză)  // Nouvelles Annales de Mathématiques :revistă. - 1868. - Vol. 2 . - P. 363-367 .
3. ↑ Thomas C. Hull. Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill  (engleză)  // American Mathematical Monthly  : jurnal. - 2011. - Aprilie. - P. 307-315 . doi : 10.4169 / amer.math.monthly.118.04.307 .
4. ↑ Roger C. Alperin și Robert J. Lang . Axiome origami cu una, două și mai multe ori  (nedefinite)  // 4OSME. — A. K. Peters, 2009.

Literatură

• Shan-Giray A., Florinsky G. Rezolvarea grafică a ecuațiilor. Metoda Lille  // V.O.F.E.M. . - 1889. - Nr. 61 . - S. 6-10 . (Rusă)