Metoda Ostrogradsky

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 martie 2021; verificările necesită 7 modificări .

Metoda lui Ostrogradsky este o metodă de integrare a funcțiilor raționale cu factori multipli ireductibili în numitor. Metoda permite utilizarea numai a operațiilor algebrice pentru a reduce problema integrării unei funcții raționale arbitrare la problema integrării unei funcții raționale fără rădăcini multiple în numitor.

Istorie

Metoda Ostrogradsky poartă numele lui M.V.Ostrogradsky , care a propus-o pentru prima dată la 22 noiembrie 1844 la o reuniune a Departamentului de Fizică și Matematică a Academiei de Științe [1] , publicată anul următor în limba franceză [2] , articolul a fost tradus în rusă în 1958. [una]

Descrierea metodei

Orice integrală a unei funcții raționale poate fi reprezentată ca

\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)))+\int {\ frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx

Iată produsul tuturor factorilor ireductibili ai polinomului fără a lua în considerare multiplicitatea (adică fiecare factor ireductibil al polinomului apare o dată în descompunerea polinomului), este produsul tuturor factorilor ireductibili ai polinomului cu multiplicitatea redusă cu 1 (fiecare factor ireductibil al polinomului de multiplicitate apare în descompunerea timpilor polinomului ). Fracția este corectă. Această formulă se numește formula Ostrogradsky . aici este partea algebrică (rațională) a integralei funcției raționale și este partea transcendentală . $Q_{2}(x)$ $Q(x)$ $Q(x)$ $Q_{2}(x)$ $Q_{1}(x)$ $Q(x)$ $Q(x)$ $n$ $Q_{1}(x)$ $n-1$ ${\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)))$ ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)))$ $\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx$ $\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx$

Esența metodei este următoarea. Scriem polinoame și cu coeficienți nedeterminați: $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$

P_{1}(x)=A_{s}x^{s}+\ldots +A_{1}x+A_{0)

P_{2}(x)=B_{r}x^{r}+\ldots +B_{1}x+B_{0}

Gradele polinoamelor pot fi aflate mai târziu, sau o puteți lua cu siguranță în avans. Lasă mai departe . Fracția de sub integrală ar trebui să se dovedească a fi corectă, astfel încât gradul poate fi luat ca . Dacă fracția inițială a fost corectă, atunci este corectă și puteți lua gradul ca . Dacă este incorect, selectați partea întreagă și reduceți fracția la cea corectă (sau luați un grad astfel încât gradele părților întregi din stânga și dreapta să coincidă). $\operatorname {deg} {P}=n,\ \operatorname {deg} {Q}=m,\ \operatorname {deg} {Q_{2}}=p,\ \operatorname {deg} {Q_{ 1}}=mp$ $P_2$ $p-1$ ${\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ $P_1$ $mp-1$

Acum putem găsi coeficienții acestor polinoame prin metoda coeficienților nedeterminați. Să diferențiem această egalitate.

{\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P_{1}'(x)Q_{1}(x)-P_{1}(x)Q_{1 }'(x)}{Q_{1}^{2}(x)}}+{\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)))

Înmulțiți ambele părți cu . $Q(x)$

P(x)={\frac {P_{1}'(x)Q(x)}{Q_{1}(x)))-{\frac {P_{1}(x)Q_{1 }'(x)Q(x)}{Q_{1}^{2}(x)))+{\frac {P_{2}(x)Q(x)}{Q_{2}(x)} }=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1} (x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)

Ambele părți ale egalității conțin polinoame. aici este și un polinom, deoarece este divizibil cu . Echivalăm coeficienții la puteri egale și obținem un sistem de ecuații algebrice liniare . Rezolvând-o, obținem ca rezultat coeficienții polinoamelor și . $P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1}(x)))$ $Q_{1}'(x)Q_{2}(x)$ $Q_{1}(x)$ $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$

Ca rezultat, am prezentat integrala originală sub forma . Problema s-a redus la integrarea unei fracții fără factori multipli ireductibili în numitor. ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}+\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x))} dx$

Formula vă permite să selectați mai precis gradele pentru polinoame și . Dacă echivalăm puterile tuturor termenilor, atunci obținem și . $P(x)=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x) }{Q_{1}(x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)$ $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$ $s=n-p+1$ $r=n+pm$

Metoda lui Ostrogradsky permite obținerea imediată a părții algebrice a integralei unei funcții raționale. Mai mult, pentru aceasta nici nu este necesar să se calculeze descompunerea în cele ireductibile. Într-adevăr, , . GCD de polinoame poate fi calculat folosind algoritmul euclidian . Astfel, partea algebrică a integralei unei funcții raționale poate fi găsită folosind metoda Ostrogradsky folosind numai operații algebrice. $Q(x)$ $Q_{1}(x)={\text{gcd)}(Q,Q')$ $Q_{2}(x)={\frac {Q}({\text{gcd}}(Q,Q')}}$

Dovada

Dovada că formula Ostrogradsky poate fi scrisă pentru orice fracție rațională se obține imediat din forma generală a integralei.

Să notăm forma generală a integralei unei funcții raționale.

\int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{ i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i))))\,dx={\frac {T(x)}{\ stil de afișare \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2} +p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\sum _{i=1}^{l}{A_{i}\ln {|x-x_{i }|}}+\sum _{i=1}^{n}\left({B_{i}\ln(x^{2}+p_{i}x+q_{i})+C_{i} \operatorname {arctg} {\frac {x+r_{i}}{h}}}\right)

$x+r_{i)$ aici este un binom liniar obținut prin selectarea pătratului complet din , adică . Să aducem logaritmii și arctangentele sub integrală. $x^{2}+p_{i}x+q_{i}$ $x^{2}+p_{i}x+q_{i}=(x+r_{i})^{2}+h^{2)$

\int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{ i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i))))\,dx={\frac {T(x)}{\ stil de afișare \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2} +p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\int \left(\sum _{i=1}^{l}{\frac {A_{i}} {x-x_{i}}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {B_{i}(2x+p_{i})+C_{i}h}{x ^{2}+p_{i}x+q_{i}}}\dreapta)\dreapta)\,dx

Formula rezultată este formula lui Ostrogradsky. Fracția de sub integrală este corectă deoarece este suma fracțiilor proprii.

Note

↑ 1 2 M. V. Ostrogradsky. Lucrări alese / Ed. V. I. Smirnova . - L . : Editura Academiei de Științe a URSS, 1958. - S. 471 . - ( Clasici ale științei ). - 3000 de exemplare.
↑ M. Ostrogradsky. De l'integration des fractions rationelles . — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Academie impériale des sciences de Saint-Petersbourg. - 1845. - Vol. IV. — Col. 145-167, 286-300.