Metoda Frobenius

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 29 august 2018; verificările necesită 5 modificări .

În matematică , metoda Frobenius , numită după Ferdinand Georg Frobenius , este o modalitate de a găsi o serie infinită care ar fi o soluție la o ecuație diferențială ordinară de ordinul doi [1] de forma

z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0,

Unde

u'\equiv {{du} \over {dz)}

și

u''\equiv {{d^{2}u} \over {dz^{2)))

într-o vecinătate a unui punct singular regulat . Ecuația poate fi împărțită la pentru a obține o ecuație diferențială de forma $z=0$ $z^{2}$

u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^{2}}u=0,

care nu este rezolvabil prin metode convenționale de serie de puteri dacă p ( z )/ z sau q ( z )/ z 2 nu sunt analitice la z = 0. Metoda Frobenius permite găsirea soluției unei astfel de ecuații diferențiale sub formă de serie de puteri, cu condiția ca p ( z ) și q ( z ) să fie ele însele analitice la 0 sau, fiind analitice peste tot, există o limită finită în punctul însuși. [2]

Explicație

Metoda Frobenius ne spune că putem căuta o soluție în serie de puteri

u(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r},\qquad (A_{0}\neq 0).

Diferențierea acestei serii:

u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1},

u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2},

și substituind în ecuația inițială, obținem:

z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z )\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty } A_{k}z^{k+r}=

=\sum _{k=0}^{\infty}(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k =0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k +r}=

=\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r) )A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}]=

=\sum _{k=0}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right] A_{k}z^{k+r}=

=\left[r(r-1)+p(z)r+q(z)\right]A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty } \left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}.

Expresie

{\ displaystyle r\ stânga (r-1 \ dreapta) + p \ stânga (0 \ dreapta) r + q \ stânga ( 0 \ dreapta) = I (r)}

cunoscut ca polinom definitoriu , este pătratic în r . În general, polinomul definitoriu este cel mai mic exponent pentru z într-o serie infinită. În acest caz se dovedește a fi al- lea coeficient, dar este, de asemenea, posibil ca cea mai mică putere să aibă un exponent de r - 2, r - 1 sau orice altceva, în funcție de ecuația diferențială dată. În timpul procesului de sincronizare, toate seriile ecuației diferențiale încep cu aceeași valoare a indicelui (pentru expresia de mai sus, k = 1), dar în cele din urmă pot fi obținute expresii complexe. Cu toate acestea, în găsirea rădăcinilor definitorii, atenția este concentrată doar pe coeficientul de grad scăzut z .

De aici rezultă că expresia generală pentru coeficientul z k+r

I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0)+q^{(kj) )}(0) \over (kj)!}A_{j}.

Acești coeficienți trebuie să fie zero deoarece sunt soluții ale ecuațiilor diferențiale, deci

I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0)+q^{(kj) )}(0) \over (kj)!}A_{j}=0,

\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0)+q^{(kj)}(0) \over (kj)! }A_{j}=-I(k+r)A_{k},

{1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0)+q^{( kj)}(0) \over (kj)!}A_{j}=A_{k}.

Seria de soluții cu A k mai sus,

U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r)

satisface

z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{ r}.

Dacă alegem una dintre rădăcini pentru polinomul definitoriu r din U r ( z ), obținem soluția ecuației diferențiale. Dacă diferența dintre rădăcini nu este un număr întreg, vom obține o soluție diferită, liniar independentă pentru cealaltă rădăcină.

Exemplu

Ca exemplu, luați în considerare ecuația

z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0.

Împărțiți cu z 2 pentru a obține

f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)f=0,

care are singularitățile necesare la z = 0.

Căutăm o soluție sub formă de serie

{\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r};\\f'&=\sum _{k=0} ^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1},\\f''&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)( k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}.\end{aliniat}}

Acum, înlocuind seria și derivatele sale în ecuație, obținem:

{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }&(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{ \frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({\frac {1} {z^{2}}}-{\frac {1}{z}}\right)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}=\\& =\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z)) \sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{\frac {1}{z^{2))}\sum _{ k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^ {k+r}=\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\ suma _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^ {k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}=\\&=\sum _{k=0}^{\ infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k} z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\ infty }A_{k-1}z^{k-1+r-1}=\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_ {k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k =0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2} =\\&=\left\{\sum _{k=0}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{ k}z^{k+  r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}=\\&=\left\{\left(r (r-1)-r+1\right)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r)(k+r- 1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1} z^{k+r-2}=\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{\ infty }(k+r-1)^{2}A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k +r-2}\right\}=\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left ((k+r-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}.\end{aliniat}}

Din ( r − 1) 2 = 0 obținem rădăcina dublă 1. Folosind această rădăcină, setăm coeficientul la z k+r − 2 la zero (pentru soluție), ceea ce ne dă:

(k+1-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}=k^{2}A_{k}-A_{k-1}=0,

deci avem relația de recurență:

A_{k}={\frac {A_{k-1}}{k^{2}}}.

Având în vedere unele condiții inițiale, putem rezolva complet problema recursiv sau putem obține o soluție în serie de puteri.

Deoarece raportul coeficienților este o funcție rațională , seria de putere poate fi scrisă ca și serie hipergeometrică generalizată. $A_{k}/A_{k-1}$

Rădăcini separate de întregi

În exemplul anterior, polinomul definitoriu avea o rădăcină multiplă, ceea ce oferă o singură soluție ecuației diferențiale date. În cazul general, metoda Frobenius oferă două soluții independente, cu condiția ca rădăcinile ecuației de guvernare să nu fie separate între ele printr-un număr întreg.

Dacă rădăcina se repetă sau rădăcinile diferă cu un număr întreg, atunci a doua soluție poate fi găsită cu:

y_{2}=Cy_{1}\ln x+\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}x^{k+r_{2)),

unde este prima soluție (ținând cont de rădăcina mai mare în cazul rădăcinilor inegale), este rădăcina mai mică, iar constantele și coeficienții trebuie determinate. Când este selectat (de exemplu, setând-o la 1), atunci u sunt definite până la, dar fără a include , care pot fi alese în mod arbitrar. Apoi, acest lucru determină restul.În unele cazuri, constanta trebuie să fie egală cu zero. De exemplu, luați în considerare următoarea ecuație diferențială (ecuația lui Kummer cu a = 1 și b = 2 ): $y_{1}(x)$ $r_{2}$ $C$ $B_{k}$ $B_{0}$ $C$ $B_{k}$ $B_{r_{1}-r_{2))$ $B_{k}.$ $C$

zu''+(2-z)u'-u=0.

Ecuația definitorie are rădăcini −1 și 0. Din două soluții independente și vedem că în soluție nu apar logaritmi. Soluția are o serie de puteri începând cu exponentul zero. În serii care încep cu relația de recurență nu impune nicio restricție asupra coeficientului la care se poate alege în mod arbitrar. Dacă este egal cu zero, atunci pentru această ecuație diferențială toți ceilalți coeficienți vor fi egali cu zero și obținem soluția . $1/z$ $(e^{z})/z$ $(e^{z}-1)/z$ $z^{-1},$ $z^{0},$ $1/z$

Vezi și

Seria Laurent

Note

↑ Metoda Frobenius . Preluat la 11 februarie 2019. Arhivat din original la 12 februarie 2019. (nedefinit)
↑ Teorema formală Frobenius . Preluat la 11 februarie 2019. Arhivat din original la 12 februarie 2019. (nedefinit)

Link -uri

Weisstein, Eric W. Frobenius Method (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Ecuații diferențiale obișnuite și sisteme dinamice . - Providence : Societatea Americană de Matematică , 2012. - ISBN 978-0-8218-8328-0 .