Functor monoidal

În teoria categoriilor, functorii monoidale sunt functori între categorii monoidale care păstrează structura monoidală, adică înmulțirea și elementul de identitate.

Definiție

Să fie și să fie categorii monoidale. Un functor monoidal de la to constă dintr-un functor , o transformare naturală $({\mathcal {C)),\otimes ,I_{\mathcal {C))}$ $({\mathcal {D)),\bullet ,I_{\mathcal {D))}$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal D}$ $F:{\mathcal {C}}\la {\mathcal {D}}$

\phi _{A,B}:FA\bullet FB\la F(A\otimes B)

și morfism

\phi:I_{\mathcal {D}}\la FI_{\mathcal {C}}

numite morfisme structurale astfel încât pentru orice , , în diagrame $A$ $B$ $C$ ${\mathcal C}$

și

sunt comutative în categoria . Aici folosim notația standard pentru structura monoidală a categoriilor și . ${\mathcal D}$ $\alpha ,\rho ,\lambda$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal D}$

Un functor puternic monoidal este un functor monoidal astfel încât morfismele structurii sunt inversabile. $\phi _{A,B},\phi$

Un functor strict monoidal este un functor monoidal ale cărui morfisme structurale sunt identice.

Exemplu

Un functor uituc de la categoria grupurilor abeliene la categoria multimilor. Aici morfismul structural este suprajecția indusă de maparea standard ; maparea traduce singletonul * la 1. $U:(\mathbf {Ab},\otimes _{\mathbf {Z}},\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set},\times,\{*\})$ $\phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)$ $A\times B\to A\otimes B\to$ $\phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z}$

Note

Kelly, G. Max (1974), „Doctrinal adjunction”, Lecture Notes in Mathematics , 420 , 257-280