Inegalitatea lui Hadamard

Inegalitatea lui Hadamard (de asemenea teorema lui Hadamard asupra determinanților [1] ), definește limita superioară a volumului unui corp în spațiul euclidian dimensional , dată de vectori . Numit după Jacques Hadamard . $n$ $n$

Formulare

Fie , și o matrice ale cărei coloane sunt vectori . Apoi $v_{i}\in \mathbb{R} ^{n},\;i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ $M$ $v_{i}:i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$

|\det(M)|\leqslant \prod _{{i=1}}^{n}{||v_{i}||}_{2},

unde este norma euclidiană a vectorului . ${||\cdot ||}_{2}$

Cu alte cuvinte, din punct de vedere al geometriei, volumul unui corp -dimensional este maxim atunci când vectorii care îl definesc sunt reciproc perpendiculari. $n$

Lema

Mai întâi demonstrăm o mică lemă:

Dacă matricea dimensiunilor este definită pozitivă , atunci $A$ $n\ ori n$

|A|\leqslant a_{{11}}a_{{22}}\ldots a_{{nn}}.

Dovada lemei

Determinantul poate fi reprezentat ca $|A|$

|A|=a_{{11}}{\begin{vmatrix}a_{{22}}&\ldots &a_{{2n}}\\a_{{32}}&\ldots &a_{{3n}}\\ \ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&a_{{12}}&\ldots &a_{{ 1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\ldots &a_{{2n}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n1}}&a_{{ n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}.

Deoarece este definită pozitivă, atunci matricea, care este primul termen din sumă, este și ea definită pozitivă, prin urmare, forma pătratică din variabile , care este al doilea termen, nu este definită pozitivă. Din cauza asta $A$ $a_{{12}},\;a_{{13}},\;\ldots ,\;a_{{1n}}$

|A|\leqslant a_{{11}}{\begin{vmatrix}a_{{22}}&\ldots &a_{{2n}}\\a_{{32}}&\ldots &a_{{3n}}\ \\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}.

Prin urmare, aplicând inducția, obținem rezultatul dorit.

Dovada inegalității lui Hadamard

Pentru a demonstra inegalitatea Hadamard, este necesar să se aplice lema demonstrată unei matrice pătrate definite pozitive de forma . $A=MM^{T}$

Matrici ale căror determinanți ajung la limita Hadamard

În combinatorică , matricele cu elemente pentru care egalitatea este valabilă în inegalitatea Hadamard sunt numite matrici Hadamard . Astfel, determinantul modulo al unor astfel de matrici este . Din astfel de matrici se obțin coduri Hadamard . $\{+1,\;-1\}$ $n^{{{\frac {n}{2))))$

Vezi și

Plotkin frontieră

Note

↑ Teorema Hadamard // Enciclopedia matematică / I. M. Vinogradov. — 1977.

Literatură

R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis , SIAM, Philadelphia, PA, SUA, cap. 8, § 7, 1997.
FJ MacWilliams și NJA Sloane, Theory of Error-Correcting Codes , Amsterdam, Țările de Jos, Olanda de Nord, § 2.3, 1977.
EF Beckenbach și R. Bellman, Inegalități , Berlin-Göttingen-Heidelberg, Germania, Ch. 2, § 11, 1961.