Inegalitatea Frobenius

În algebra liniară , inegalitatea Frobenius este următoarea inegalitate pentru rândurile matricelor :

\mathrm {rang} \,AB+\mathrm {rang} \,BC\leqslant \mathrm {rang} \,ABC+\mathrm {rang} \,B.

În această inegalitate, dimensiunile matricelor , și trebuie să permită existența unei matrice (adică, aceste matrici au dimensiuni , și , respectiv). $A$ $B$ $C$ $ABC$ $i\times j$ $j\times k$ $k\times l$

Inegalitatea poartă numele matematicianului F. G. Frobenius , care a descoperit-o .

Prima dovadă

Dacă și , atunci . $U\subset V$ $X:V\rightarrow W$ $\dim \mathrm {Ker} \,X_{U}\leqslant \dim \mathrm {Ker} \,X=\dim V-\dim \mathrm {Im} \,X$

Să scriem această inegalitate pentru : $U=\mathrm {Im} \,BC,V=\mathrm {Im} \,B,X=A$

\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,B}=\dim \mathrm {Im} \,B-\dim \mathrm {Im} \,AB

De asemenea, este clar că [1] . $\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,BC}=\dim \mathrm {Im} \,BC-\dim \mathrm {Im} \,ABC$

A doua dovadă

Luați în considerare matricea blocurilor

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}

Dacă aplicăm un lanț de transformări elementare unei matrice, acestea, după cum se știe, nu schimbă rangul matricei. $M$

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&0\\AB&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&-BC \\AB&0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}

Apoi $\mathrm {rang} \,B+\mathrm {rang} \,ABC=\mathrm {rang} \,M=\mathrm {rang} {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}} \geqslant \mathrm {rang} {\begin{pmatrix}BC&0\\0&AB\end{pmatrix}}=\mathrm {rang} \,AB+\mathrm {rang} \,BC$

Note

↑ Probleme și teoreme ale algebrei liniare, 1996 , p. 73.

Literatură

Carl D Meyer. Analiza matriceală și algebră liniară aplicată
Prasolov VV Probleme și teoreme ale algebrei liniare. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .