Inegalitatea lui Cebyshev pentru sume

Inegalitatea lui Cebyshev pentru sume , numită după Pafnuty Lvovich Cebyshev , afirmă că dacă

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n

și

b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n,

apoi

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\ sum_{k=1}^n b_k\right).

În mod similar, dacă

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n

și

b_1 \leqslant b_2 \leqslant \cdots \leqslant b_n,

apoi

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\ sum_{k=1}^n b_k\right).

Dovada

Inegalitatea lui Cebyshev pentru sume este ușor dedusă din inegalitatea de permutare :

Să ne prefacem că

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n

și

b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \cdots \geqslant b_{n}.

Având în vedere inegalitatea de permutare, expresia

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n)

este valoarea maximă posibilă a produsului scalar al secvenţelor considerate. Însumând inegalitățile

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_ {n}

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n} b_{1}

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n} b_{2}

\vdots

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{n}+a_{2}b_{1}+\cdots +a_{n} b_{n-1}

primim

n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geqslant (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);

sau, împărțind la : $n^{2}$

\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geqslant \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n }.

Există, de asemenea, un analog continuu al inegalității lui Chebyshev pentru sume:

Dacă f(x) și g(x) sunt funcții reale integrabile pe [0,1] care cresc sau descresc simultan, atunci

\int \limits _{0}^{1}f(x)g(x)\,dx\geqslant \int \limits _{0}^{1}f(x)\,dx\int \ limite _{0}^{1}g(x)\,dx.