Set neclar

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 10 septembrie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Un set fuzzy (uneori fuzzy [1] , foggy [2] , pufos [3] ) este un concept introdus de Lotfi Zadeh în 1965 în articolul „Fuzzy Sets” din revista Information and Control [4] , în care a extins clasicul conceptul de mulțime , presupunând că funcția caracteristică a unei mulțimi (numită de Zade funcția de membru pentru o mulțime fuzzy) poate lua orice valori în interval , și nu doar valorile sau . Este conceptul de bază al logicii fuzzy . $[0, 1]$ $0$ $unu$

Nume învechit: set vag [5] [6] ,

Definiție

O mulțime fuzzy este un set de perechi ordonate alcătuit din elemente ale unei mulțimi universale și gradele de apartenență corespunzătoare : $A$ $X$ $X$ $\mu _{A}(x)$

A=\{(x,\mu _{A}(x))\mid x\in X\}

în plus , este o funcție de apartenență (o generalizare a conceptului funcției caracteristice a seturilor obișnuite clare), care indică în ce măsură (măsura) un element aparține unei mulțimi fuzzy . Funcția ia valori într-o mulțime ordonată liniar . Un set se numește set de accesorii , adesea un segment este ales ca segment . Dacă (adică este format din doar două elemente), atunci setul fuzzy poate fi considerat ca un set clar obișnuit. $\mu _{A}(x)$ $X$ $A$ $\mu _{A}(x)\$ $M$ $M$ $M$ $[0, 1]$ $M=\{0,1\}\$

Definiții de bază

Lăsați un set neclar cu elemente din setul universal și un set de accesorii . Apoi: $A$ $X\$ $M=[0,1]$

purtătorul ( suportul ) unui set fuzzy este mulţimea ; $\operatorname {supp} A$ $\{x\mid x\in X,\mu _{A}(x)>0\}$
valoarea se numește înălțimea mulțimii fuzzy . Un set neclar este normal dacă înălțimea sa este . Dacă înălțimea este strict mai mică decât , mulțimea fuzzy se numește subnormal ; $\sup _{{x\in X}}\mu _{A}(x)$ $A\$ $A\$ $unu\$ $unu\$
setul fuzzy este gol dacă . Un set fuzzy subnormal nevid poate fi normalizat prin formula $\forall x\in X:\mu _{A}(x)=0$ $\mu '_{A}(x)={\frac {\mu _{A}(x)}{\sup \mu _{A}(x)))$ ;
setul fuzzy este unimodal dacă numai pe unul dintre ; $\mu _{A}(x)=1\$ $X\$ $X\$
elemente pentru care se numesc puncte de tranziție ale mulțimii fuzzy . $x\în X$ $\mu _{A}(x)=0{,}5$ $A\$

Comparație de seturi fuzzy

Fie și să fie mulțimi neclare definite pe mulțimea universală . $A$ $B$ $X$

$A$ este conținut în , dacă pentru orice element din funcția de apartenență la mulțime va lua o valoare mai mică sau egală cu funcția de apartenență a mulțimii : $B$ $X$ $A$ $B$ $A\subset B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ .
Dacă condiția nu este îndeplinită pentru toate , atunci vorbim despre gradul de includere a mulțimii fuzzy în , care este definit după cum urmează: $\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ $x\în X$ $A$ $B$ $l\left(A\subset B\right)=\min _{x\in T}\mu _{B}(x)$ , unde . $T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x),\mu _{A}(x)>0\)$
Se spune că două mulțimi sunt egale dacă sunt conținute unul în celălalt: $A=B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)$ .
Dacă valorile apartenenței funcționează și sunt aproape egale între ele, se vorbește despre gradul de egalitate al mulțimilor fuzzy și , de exemplu, sub forma $\mu _{A}(x)$ $\mu _{B}(x)$ $A$ $B$ $E(A=B)=1-\max _{x\in T}|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|$ , unde . ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\neq \mu _{B}(x)\))$

Proprietățile seturilor fuzzy

$\alfa$ -slice of fuzzy set , notat ca , este următorul set clar : $A\subseteq X$ $A_{\alpha}$

{\displaystyle A_{\alpha }=\{x\in X\mid \mu _{A}(x)\geqslant \alpha \))

adică mulțimea definită de următoarea funcție caracteristică (funcția de membru):

\chi _{A_{\alpha }}(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&\mu _{A}(x)<\alpha,\\1,&\mu _{A}(x)\geqslant \alpha .\end{matrice}}\right.

Pentru o felie a unei mulțimi fuzzy, următoarea implicație este adevărată: $\alfa$

\alpha _{1}<\alpha _{2}\Rightarrow A_{\alpha _{1}}\supset A_{\alpha _{2}}

O mulțime neclară este convexă dacă și numai dacă este îndeplinită următoarea condiție: $A\subseteq \mathbf {R}$

\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\geqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\land \mu _{ A}(x_{2})=\min\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle

pentru orice și . $x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$ $\gamma \in [0,1]$

O mulțime neclară este concavă dacă și numai dacă este îndeplinită următoarea condiție: $A\subseteq \mathbf {R}$

\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\leqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\lor \mu _{ A}(x_{2})=\max\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle

pentru orice și . $x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$ $\gamma \in [0,1]$

Operații pe mulțimi fuzzy

Cu multe accesorii $M=[0,1]\$

Intersecția mulțimilor fuzzy este o submulțime fuzzy cu o funcție de membru care este minimul de funcții de membru și : $A$ $B$ $A$ $B$ $\mu _{A\cap B}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .
Produsul mulțimilor fuzzy este o submulțime fuzzy cu o funcție de membru: $A$ $B$ $\mu _{AB}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$ .
Uniunea mulțimilor fuzzy este o submulțime fuzzy cu o funcție de membru care este maximul funcțiilor de membru și : $A$ $B$ $A$ $B$ $\mu _{A\cup B}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .
Suma mulțimilor fuzzy este o submulțime fuzzy cu o funcție de membru: $A$ $B$ $\mu _{A+B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\ -\mu _{A}(x)\mu _{B }(X)$ .
Negația unei mulțimi este o mulțime cu funcție de apartenență: $A\$ $\overline A$ $\mu _{\overline {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)$ pentru toată lumea . $x\în X$

O reprezentare alternativă a operațiilor pe mulțimi fuzzy

Traversare

În general, operația de intersecție a mulțimilor fuzzy este definită după cum urmează:

\mu _{A\cap B}(x)=T(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))

unde funcția este așa-numita T-normă . Mai jos sunt exemple particulare de implementare a normei T : $T$

$\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\land \mu _{B}(x)=\min(\mu _{A}(x), \mu _{B}(x))$
$\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$
$\mu _{A\cap B}(x)=\max\{0,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-1\)$
$\mu _{A\cap B}(x)=\left\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=1\\ \mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=1\\0,&\mu _{A}(x)<1,\mu _{B}(x)<1 ,\end{matrice}}\dreapta.$
$\mu _{A\cap B}(x)=1-\min\{1,[(1-\mu _{A}(x))^{p}+(1-\mu _{ B}(x))^{p}]^{1 \over p}\}$ , pentru $p\geqslant 1$

Consolidare

În cazul general, operația de combinare a mulțimilor fuzzy este definită după cum urmează:

\mu _{A\cup B}(x)=S(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))

unde funcţia este T-conorm a . Mai jos sunt exemple particulare de implementare a normei S : $S$

$\mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)\lor \mu _{B}(x)=\max(\mu _{A}(x), \mu _{B}(x))$
$\mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-\mu _{A}(x)\mu _{B }(X)$
${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\))$
$\mu _{A\cup B}(x)=\left\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=0\\ \mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=0\\1,&\mu _{A}(x)>0,\mu _{B}(x)>0 \end{matrice}}\dreapta.$
$\mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,[\mu _{A}^{p}(x)+\mu _{B}^{p}(x) ]^{1 \over p}\}$ , pentru $p\geqslant 1$

Legătura cu teoria probabilității

Teoria multimilor fuzzy intr-un anumit sens se reduce la teoria multimilor aleatoare si deci la teoria probabilitatii . Ideea principală este că valoarea funcției de membru poate fi considerată ca probabilitatea ca un element să fie acoperit de o mulțime aleatorie . $\mu _{A}(x)\$ $X\$ $B\$

Cu toate acestea, în aplicarea practică, aparatul teoriei mulțimilor fuzzy este de obicei utilizat independent, acționând ca un concurent cu aparatul teoriei probabilităților și al statisticii aplicate . De exemplu, în teoria controlului există o direcție în care se folosesc seturi fuzzy (controlere fuzzy) în locul metodelor teoriei probabilităților pentru a sintetiza controlere experți .

Exemple

Lăsa:

Multe $X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}$
multe accesorii $M=[0,1]$
$A$ și sunt două submulțimi fuzzy $B$ $X$
- $A=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 1 )\}$
- $B=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2 )\}$

Rezultatele principalelor operațiuni:

intersecție: ${A\cap B}=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2)\}={B}$
o asociere: ${A\cup B}=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{ 4}\mid 1)\}={A}$

Note

↑ Buletinul Academiei de Științe a RSS Georgiei . - Academia, 1974. - S. 157. - 786 p. Arhivat pe 4 aprilie 2017 la Wayback Machine
↑ Kozlova Natalya Nikolaevna. Imagine color a lumii în limbă // Uchenye zapiski Zabaikal'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seria: Filologie, istorie, studii orientale. - 2010. - Emisiune. 3 . — ISSN 2308-8753 . Arhivat din original pe 4 aprilie 2017.
↑ Chimie și viață, secolul XXI . - Compania „Chimie și Viață”, 2008. - S. 37. - 472 p. Arhivat pe 4 aprilie 2017 la Wayback Machine
↑ Lotfi A. Zadeh Fundamentele unei noi abordări ale analizei sistemelor complexe și a proceselor decizionale (tradusă din engleză de V. A. Gorelik, S. A. Orlovsky, N. I. Ringo) // Mathematics Today. - M., Cunoașterea, 1974. - p. 5-48
↑ Leonenkov A. V. Modelare fuzzy în mediul MATLAB și fuzzyTECH. Sankt Petersburg: BKhV�Peterbur, 2005. 736 p.: ill. ISBN 5.94157.087.2
↑ A.M. Shirokov. Fundamentele Teoriei Achizițiilor . - Știință și tehnologie, 1987. - S. 66. - 190 p. Arhivat pe 18 aprilie 2021 la Wayback Machine

Literatură

Zadeh L. Conceptul de variabilă lingvistică și aplicarea acestuia la luarea deciziilor aproximative. - M . : Mir, 1976. - 166 p.
Probleme de optimizare Orlov AI și variabile fuzzy . - M .: Cunoașterea, 1980. - 64 p.
Kofman A. Introducere în teoria mulțimilor fuzzy. - M . : Radio şi comunicare, 1982. - 432 p.
Mulțimi fuzzy și teoria posibilităților: Avansuri recente / R. R. Yager. - M . : Radio și comunicare, 1986.
Zadeh LA Seturi Fuzzy // Informații și control. - 1965. - T. 8 , nr 3 . - P. 338-353.
Orlovsky SA Probleme de luare a deciziilor cu informații inițiale neclare. — M .: Nauka, 1981. — 208 p. - 7600 de exemplare.
Orlov A. I. , Lutsenko E. V. Sistemul de matematică a intervalelor fuzzy. — Monografie (ediție științifică). - Krasnodar, KubGAU. 2014. - 600 p. [unu]