Transformată Fourier cu ferestre

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 septembrie 2018; verificările necesită 15 modificări .

Transformarea Fourier cu ferestre este o variație a transformării Fourier definită după cum urmează:

F(t,\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau) W(\tau-t) e^{-i\omega \tau}\,d\tau,

unde este o funcție de fereastră . În cazul unei transformări discrete , funcția fereastră este utilizată în mod similar: $W(\tau-t)$

F(m,\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f[n]w[nm]e^{-j \omega n}

Există multe formule matematice care îmbunătățesc vizual spectrul de frecvență la ruperea limitelor ferestrei. Pentru aceasta, se aplică transformări: triunghiular (Barlett), fereastră sinusoială, sinus cub, sinus la puterea a 4-a, Parzen, Welch, Gauss, Hanning, cosinus ridicat (Hamming), Chebyshev, cu pulsații, transformarea Rosenfield, Blackman-Harris, partea de sus orizontală și plată. Există și o tehnică de suprapunere a ferestrelor, caz în care puteți alege de obicei câte mostre din fereastra anterioară vor fi mediate cu fereastra curentă.

Aplicație

În practică, nu este posibil să primiți un semnal la un interval infinit, deoarece nu există nicio modalitate de a ști care a fost semnalul înainte de a porni dispozitivul și ce va fi în viitor. Limitarea intervalului de analiză este echivalentă cu produsul semnalului original printr-o funcție de fereastră dreptunghiulară. Astfel, rezultatul transformării Fourier cu ferestre nu este spectrul semnalului original, ci spectrul produsului semnalului și funcția fereastră. Ca rezultat, există un efect numit răspândire a spectrului de semnal. Pericolul este că lobii laterali cu amplitudine mai mare pot masca prezența altor semnale cu amplitudine mai mică.

Pentru a combate răspândirea spectrului, se utilizează o funcție de fereastră mai netedă, al cărei spectru are un lob principal mai larg și un nivel scăzut de lobi laterali. Spectrul obținut folosind transformata Fourier cu ferestre este convoluția spectrului semnalului ideal original și spectrul funcției ferestrei.

Distorsiunea introdusă de utilizarea ferestrelor este determinată de dimensiunea ferestrei și de forma acesteia. Se disting următoarele proprietăți principale ale funcțiilor ferestrei: lățimea lobului principal la nivelul de -3 dB, lățimea lobului principal la nivelul zero, nivelul maxim al lobilor laterali, coeficientul de atenuare al funcției ferestrei .

Transformarea Fourier cu ferestre este utilizată în comunicații pentru sinteza filtrelor de frecvență, de exemplu, în metoda de multiplexare a frecvenței cu purtători multiple folosind banca (pieptene) de filtre de frecvență FBMC [1] .

Rezoluție timp-frecvență

Când se utilizează transformata Fourier cu fereastră, este imposibil să se ofere o rezoluție bună în timp și frecvență în același timp. Cu cât fereastra este mai îngustă, cu atât rezoluția timpului este mai mare și rezoluția frecvenței este mai mică.

Rezoluția axei este constantă. Acest lucru nu este de dorit pentru o serie de probleme în care informațiile sunt distribuite inegal pe frecvențe. În astfel de probleme, ca alternativă la transformarea Fourier cu ferestre, poate fi utilizată transformata wavelet , a cărei rezoluție temporală crește cu frecvența (frecvența scade).

Tipuri de funcții ferestre

Fereastra dreptunghiulara

w(n)=\left\{ \begin{matrix} 1 , & n\in[0,N-1] \\ 0, & n\notin[0,N-1]\\ \end{matrix} \ dreapta.

Obținut automat atunci când proba este limitată la N eșantioane. Răspuns în frecvență maximă lobi laterali: -13 dB.

Fereastra lui Hann (Hanning)

w(n) = 0,5\; \left(1 - \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) \right)

unde N este lățimea ferestrei. Nivel lobul lateral: -31,5 dB.

Fereastra Hamming

w(n)=0,53836 - 0,46164\; \cos \left ( \frac{2\pi n}{N-1} \right)

Nivel lobul lateral: -42 dB.

Fereastra Blackman

w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) + a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \ dreapta)

a_{0}={\frac {1-\alpha }{2});\quad a_{1}={\frac {1}{2));\quad a_{2}={\frac {\alpha }{2}}

Nivelul lobilor laterali: -58 dB (α=0,16).

Fereastra Kaiser

w(n) = \frac { | I _0 \left ( \beta \sqrt {1 - \left ( \frac{2n-N+1}{N-1} \right )^2} \right ) | } { | I_0 (\beta) | }

unde este funcția Bessel modificată a primului tip de ordin zero; este coeficientul care determină fracția de energie concentrată în lobul principal al spectrului funcției ferestrei. Cu cât este mai mare, cu atât ponderea energiei este mai mare, cu atât lobul principal este mai larg și nivelul lobilor laterali este mai scăzut. În practică, se folosesc valori de la 4 la 9. $I_0$ $\beta$ $\beta$

Implementare

Pentru transformarea Fourier în fereastră în formă digitală, poate fi utilizată nu numai ponderarea fiecărei probe digitale în procesul de formare a convoluției, ci și însumarea ponderată echivalentă a răspunsurilor transformatei Fourier [1] .

De exemplu, ponderea prin fereastra Hann (Hanning) și fereastra Hamming poate fi reprezentată ca:

w={\frac {U_{1}+\beta U_{2}+U_{3}}{\beta }}

unde , , sunt răspunsurile inițiale ale transformării Fourier, este rezultatul transformării ferestre, corespunde ferestrei Hann (Hanning), - ferestrei Hamming [1] [2] . $U_{1}$ $U_{2}$ $U_{3}$ $w$ $\beta=2$ $\beta =0,53836/0,23082$

Implementarea ponderii specificate se realizează în modul fereastră glisantă pe matricea de răspunsuri ale transformării Fourier.

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 Slyusar V.I. Tendințele moderne ale comunicării prin releu radio. //Tehnologii și mijloace de comunicare. - 2014. - Nr. 4. - P. 32 - 36. [https://web.archive.org/web/20200110062028/https://slyusar.kiev.ua/TSS_4_2014_1.pdf Copie arhivată din 10 ianuarie 2020 pe mașina Wayback ]
↑ Slyusar V. I., Korolev N. A. Vashchenko P. A. O metodă pentru creșterea selectivității în frecvență a sistemelor de comunicații celulare folosind formarea fasciculului digital. // Rezumate ale rapoartelor XIV NTC. Partea 1. - Zhitomir: ZHVIRE. - 2004. - S. 77. [1] Copie de arhivă din 14 ianuarie 2020 la Wayback Machine

Link- uri externe

Unele funcții ale ferestrei și parametrii acestora Arhivate 8 mai 2017 la Wayback Machine
Utilizarea funcțiilor de fereastră în probleme de analiză spectrală digitală. Exemple și recomandări Arhivate 17 februarie 2017 la Wayback Machine