Sistem ortogonal

Un sistem ortogonal de elemente ale unui spațiu vectorial cu un produs interior este o submulțime de vectori astfel încât oricare doi dintre ei sunt ortogonali , adică produsul lor interior este zero: $\left\{\varphi _{i}\right\}\subset H$

(\varphi _{i},\varphi _{j})=0

Un sistem ortogonal, dacă este complet, poate fi folosit ca bază pentru spațiu. În acest caz, descompunerea oricărui element poate fi calculată prin formulele: , unde . $\vec a$ ${\vec a}=\sum _{{k}}\alpha _{i}\varphi _{i}$ $\alpha _{i}={\frac {({\vec {a}),\varphi _{i})}{(\varphi _{i},\varphi _{i))))}$

Cazul în care norma tuturor elementelor se numește sistem ortonormal . $||\varphi _{i}||=1$

Ortogonalizare

Pentru orice sistem liniar independent , un sistem ortonormal poate fi construit prin aplicarea procesului de ortogonalizare Gram-Schmidt .

Orice sistem complet independent liniar într-un spațiu finit-dimensional este o bază. De la o bază simplă, așadar, se poate trece la o bază ortonormală.

Descompunere ortogonală

La descompunerea vectorilor unui spațiu vectorial pe bază ortonormală, calculul produsului scalar este simplificat: , unde și . $({\vec {a)),{\vec {b)}}=\sum _{k}\alpha _{k}\beta _{k)$ ${\vec {a}}=\sum _{k}\alpha _{k}\varphi _{k}$ ${\vec {b}}=\sum _{k}\beta _{k}\varphi _{k}$

Sistem ortogonal

Ortogonalizare

Descompunere ortogonală

Vezi și