Paradoxul lui Bertrand (probabilitate)

Paradoxul lui Bertrand este o problemă în definiția clasică a teoriei probabilităților . Joseph Bertrand a descris paradoxul în Calcul des probabilités (1888) ca un exemplu al modului în care probabilitatea nu poate fi definită clar până când mecanismul sau metoda de alegere a unei variabile aleatoare nu este determinată [1] .

Formularea lui Bertrand

Paradoxul lui Bertrand este următorul: Considerăm un triunghi echilateral înscris într- un cerc . O coardă a cercului este aleasă la întâmplare. Care este probabilitatea ca coarda aleasă să fie mai lungă decât latura triunghiului?

Bertrand a propus trei soluții, aparent corecte, dar cu rezultate diferite.

  1. Metoda „cafăturilor aleatorii”: selectam aleatoriu două puncte de pe cerc și tragem o coardă prin ele. Pentru a calcula probabilitatea dorită, imaginați-vă că triunghiul este rotit astfel încât unul dintre vârfurile sale să coincidă cu sfârșitul coardei. Rețineți că dacă celălalt capăt al coardei se află pe arcul dintre alte două vârfuri ale triunghiului, atunci lungimea coardei este mai mare decât latura triunghiului. Lungimea arcului considerat este egală cu o treime din circumferință, după definiția clasică, probabilitatea necesară este egală cu .
  2. Metoda „rază aleatorie”: fixează raza cercului, selectează aleatoriu un punct pe rază. Să construim o coardă, perpendiculară pe raza fixă, care trece prin punctul ales. Pentru a găsi probabilitatea dorită, imaginați-vă că triunghiul este rotit astfel încât una dintre laturile sale să fie perpendiculară pe o rază fixă. O coardă este mai lungă decât o latură a unui triunghi dacă centrul său este mai aproape de centru decât punctul de intersecție al triunghiului cu rază fixă. Latura triunghiului bisectează raza, astfel încât probabilitatea de a alege o coardă este mai mare decât latura triunghiului .
  3. Metoda „centrului aleatoriu”: vom selecta aleatoriu un punct arbitrar în interiorul cercului și vom construi o coardă centrată în punctul selectat. O coardă este mai lungă decât o latură a unui triunghi echilateral dacă punctul ales se află în interiorul unui cerc înscris în triunghi. Aria cercului înscris este 1/4 din aria celui mai mare, deci probabilitatea inițială este .

Alegerea metodei poate fi, de asemenea, descrisă după cum urmează. Un acord este definit în mod unic prin punctul său de mijloc. Toate cele trei metode descrise mai sus dau o distribuție diferită a mijlocului, fiecare cu propria sa. Metodele 1 și 2 reprezintă două distribuții diferite neuniforme, în timp ce a treia metodă oferă o distribuție uniformă. Pe de altă parte, dacă te uiți la imaginile acordurilor de mai jos, se observă că acordurile din metoda 2 dau un cerc umplut uniform, iar metodele 1 și 3 nu dau o astfel de imagine.


Alte distribuții pot fi concepute; multe dintre ele vor da proporții diferite de acorduri care sunt mai lungi decât latura triunghiului înscris.

Soluția clasică

Soluția clasică a problemei depinde astfel de metoda prin care acordul este ales aleatoriu. Dacă și numai dacă este dată metoda de selecție aleatorie, problema are o soluție bine definită. Metoda de selecție nu este unică, așa că nu poate exista o singură soluție. Cele trei soluții prezentate de Bertrand corespund unor metode de selecție diferite, iar în lipsa unor informații suplimentare, nu există niciun motiv să o preferăm pe vreuna.

Acesta și alte paradoxuri ale definiției clasice a probabilității justifică formulări mai riguroase care implică probabilități de frecvență și probabilități bayesiene subiective .

Soluția lui Janes folosind principiul incertitudinii

Edwin Jaynes , în lucrarea sa din 1973 „The Well-posed Problem” [2] , a propus o soluție la paradoxul lui Bertrand bazată pe principiul incertitudinii : nu ar trebui să folosim informații care nu sunt date în condiție. Jaynes a subliniat că problema lui Bertrand nu specifică poziția sau dimensiunea cercului și a susținut că, într-un astfel de caz, orice soluție exactă și obiectivă trebuie să fie „indiferentă” față de dimensiunea și poziția. Cu alte cuvinte, soluția trebuie să fie invariabilă dimensiunilor și transformărilor.

Pentru a ilustra: să presupunem că acordurile se află la întâmplare într-un cerc cu un diametru de 2 (să zicem, după ce paiele au fost aruncate în cerc de la distanță). Apoi, un alt cerc cu un diametru mai mic (de exemplu, 1,1) este suprapus peste cel mare. Acum, distribuția acordurilor în cercul mai mic ar trebui să fie aceeași ca și în cel mai mare. Dacă mutați cercul mai mic peste cel mai mare, probabilitatea nu ar trebui să se schimbe. Acest lucru ar trebui să fie exprimat clar în cazul schimbărilor în metoda 3: distribuția acordurilor în cercul mic poate arăta calitativ diferită de distribuția lor în cercul mare.

Situația este aceeași cu metoda 1, deși este mai complexă în reprezentarea grafică. Doar metoda 2 este invariantă atât dimensional, cât și transformațional, metoda 3 are doar invarianță dimensională, metoda 1 nu are nici una.

Cu toate acestea, Jaynes a folosit nu numai invarianța pentru a accepta sau a respinge aceste metode: aceasta ar însemna același lucru cu a lăsa posibilitatea existenței unei metode încă nedescrise, care să îndeplinească criteriile de bun simț . Jaynes a folosit ecuații integrale , care descriu invarianța, pentru a determina cu exactitate probabilitatea unei distribuții. Pentru această problemă, egalitățile integrale au într-adevăr o soluție unică, ceea ce se numește metoda 2 de mai sus, metoda razelor aleatoare.

Experimente fizice

Metoda 2 este singura soluție care are invarianță de transformare, care este prezentă în anumite sisteme fizice (cum ar fi mecanica statistică și fizica gazelor ), precum și în experimentul propus de Janes cu aruncarea aleatorie a paielor de la distanță într-un cerc. Cu toate acestea, se pot efectua alte experimente care dau rezultate pentru alte metode. De exemplu, pentru a ajunge la o soluție în metoda 1, metoda finală aleatorie, se poate atașa un indicator rotativ la centrul cercului și lasă rezultatele a două rotații independente să marcheze punctele de început și de sfârșit ale acordurilor. Pentru a ajunge la soluția din metoda 3, trebuie să acoperim cercul cu melasă și să marchezi primul punct în care musca aterizează accidental ca punct de mijloc al coardei. Mai mulți observatori au conceput experimente pentru a obține soluții diferite și pentru a verifica rezultatele în mod empiric. [3] [4] [5]

Note

  1. ↑ Sekey G. Paradoxuri în teoria probabilităților și statistica matematică. - M . : Mir, 1990. - S. 50-54. — 240 s.
  2. ↑ Jaynes, E.T. (1973), The Well-Posed Problem , Foundations of Physics vol. 3: 477–493, doi : 10.1007/BF00709116 , < http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf > Arhivat pe 12 august 2011 la Wayback Machine   
  3. ^ Gardner, Martin (1987), The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions , The University of Chicago Press, p. 223–226, ISBN 978-0226282534  
  4. ↑ Tissler, P.E. (martie 1984), Bertrand's Paradox , The Mathematical Gazette (The Mathematical Association) . — T. 68 (443): 15–19 , DOI 10.2307/3615385 (engleză)  
  5. ↑ Kac, Mark (mai–iunie 1984), Marginalia: more on randomness, American Scientist vol . 72 (3): 282–283