Rădăcina primitivă a unității

O rădăcină primitivă (sau rădăcină primitivă ) a unității într- un câmp este un element ca pentru orice natural . $m$ $K$ $\xi \in K$ $\xi ^{m}=1$ $\xi ^{\ell }\not =1$ $\ell <m$

Dacă este câmpul numerelor complexe , atunci puterile rădăcinii primitive formează un grup ciclic de rădăcini de ordine din unitate. $K$ $\xi$ $m$

Proprietăți

Dacă există o rădăcină primitivă a gradului în câmp , atunci este coprim cu caracteristica câmpului . $K$ $m$ $m$ $K$
Un câmp închis algebric conține o rădăcină primitivă de orice grad coprim cu caracteristica câmpului.
Dacă este o rădăcină primitivă de grad , atunci pentru orice prim relativ c , elementul este, de asemenea, o rădăcină primitivă. De unde, în special, rezultă că numărul tuturor rădăcinilor primitive ale gradului (când acestea există) este egal cu valoarea funcției Euler . $\xi$ $m$ $\ell$ $m$ $\xi ^{\ell )$ $m$ $\varphi(m)$
În domeniul numerelor complexe, rădăcinile primitive de gradul m au forma: $e^{2\pi {i}\ell /m}=\cos {\frac {2\pi \ell {m)}+i\sin {\frac {2\pi \ell {m }}$ , unde este coprim cu . $\ell$ $m$

Într -un câmp finit , unde q este o putere a unui număr prim , rădăcina primitivă a gradului este un generator al grupului multiplicativ (ciclic) al acestui câmp și se numește element primitiv . $\mathbb {F} _{q}$ $q-1$

Literatură

Van der Waerden B. L. Algebră. Definiții, teoreme, formule . - Sankt Petersburg. : Lan, 2004. - 624 p. — ISBN 5-8114-0552-9 . Arhivat pe 4 martie 2016 la Wayback Machine
Milne, James S. Teoria algebrică a numerelor . Note de curs (2014). Consultat la 1 octombrie 2014. Arhivat din original pe 17 decembrie 2014. (nedefinit)