Stare periodică

O stare periodică este o stare a unui lanț Markov care este vizitată de lanț numai la intervale de timp care sunt multipli ai unui număr fix.

Perioada de stat

Să fie dat un lanț Markov omogen în timp discret cu matrice de probabilitate de tranziție . În special, pentru orice , matricea este matricea probabilităților de tranziție pe pași. Să luăm în considerare o secvență . Număr $\{X_{n}\}_{n\geq 0)$ $P$ $n\în \mathbb {N}$ $P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$ $n$ $p_{jj}^{(n)},\,n\in \mathbb {N}$

d(j)=\gcd \left(n\in \mathbb {N} \mid p_{jj}^{(n)}>0\right)

unde denota cel mai mare divizor comun , se numeste perioada de stare . $\gcd$ $j$

Notă

Astfel, perioada statului este , dacă din faptul că , rezultă că este divizibil cu . $j$ $d(j)$ $p_{jj}^{(n)}>0$ $n$ $d(j)$

Stări și lanțuri periodice

Dacă , atunci starea se numește periodică . Dacă , atunci starea se numește aperiodic . $d(j)>1$ $j$ $d(j)=1$ $j$

Perioadele stărilor de comunicare coincid:

(i\leftrightarrow j)\Rightarrow (d(i)=d(j))

Astfel, perioada oricărei clase necompuse a lanțului Markov este definită și egală cu perioada oricăruia dintre reprezentanții săi. În consecință, clasele sunt împărțite în periodice și aperiodice.

Dacă un lanț Markov este indecompos, atunci perioadele tuturor stărilor sale coincid și valoarea comună pe care o iau se numește perioada lanțului. Un lanț se numește periodic dacă perioada lui este mai mare de unu, iar aperiodic în caz contrar.

Clasificarea stărilor și lanțurile Markov
Stat	aperiodic returnabil realizabil irevocabil nesemnificativ zero periodic pozitiv comunicând semnificativ
Lanţ	aperiodic returnabil irevocabil necompusa zero periodic pozitiv descompunebil ergodic