E rândul lui Wick

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 iunie 2016; verificările necesită 3 modificări .

Rotația fitilului este o metodă de rezolvare a problemelor din spațiul Minkowski prin rezolvarea unei probleme cuplate în spațiul euclidian , folosind analiza complexă , în special, conceptul de continuare analitică . Numit după Giancarlo Vica .

Prezentare generală

Rotația Wick se bazează pe observația că metrica spațiului Minkowski este:

ds^{2}=-(dt^{2})+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

devine metrica spațiului euclidian cu patru dimensiuni:

ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

dacă coordonata ia doar valori imaginare . Adică problema din spațiul Minkowski cu coordonatele , , , , prin înlocuirea , poate fi redusă la o problemă din spațiul euclidian real cu coordonatele , , , . $t$ $X$ $y$ $z$ $t$ $t=i\tau$ $X$ $y$ $z$ $\tau$

Mecanica statistică și cuantică

Rotația lui Wick leagă mecanica statistică de mecanica cuantică prin înlocuirea reciprocă a temperaturii cu timpul imaginar . Luați în considerare un număr mare de oscilatoare armonice la temperatură . Probabilitatea relativă de a găsi un oscilator dat într-o stare cu energie este , unde este constanta Boltzmann. Valoarea medie a observatei : $1/(k_{B}T)$ $it/\hbar$ $T$ $E$ $\exp(-E/k_{B}T)$ $k_B$ $Q$

\langle Q\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{j}Q(j)e^{-E_{j}/(k_{B}T)}.

Acum considerăm un oscilator armonic cuantic într-o suprapunere de stări de bază, în timp cu Hamiltonianul . Modificarea relativă a fazelor stării de bază cu energie este unde este constanta Planck redusă. Amplitudinea probabilității ca aceeași suprapunere de stări să conducă la o suprapunere arbitrară este, omițând factorul de normalizare, $t$ $H$ $E$ $\exp(-Eit/\hbar),$ $\hbar$ $|\psi \rangle =\sum _{j}|j\rangle$ $|Q\rangle =\sum _{j}Q_{j}|j\rangle$

\;\langle Q|e^{{-iHt/\hbar }}|\psi \rangle

=\sum _{j}Q_{j}e^{{-E_{j}it/\hbar }}\langle j|j\rangle

=\sum _{j}Q_{j}e^{{-E_{j}it/\hbar }}.

Statica si dinamica

Rotația lui Wick leagă problemele statice în dimensiuni cu probleme dinamice în dimensiuni, „înlocuind” o dimensiune spațială cu timpul. În cazul în care un exemplu ar fi o sfoară suspendată cu capete fixe într-un câmp gravitațional . Forma unei sfori curbate . Coarda este în echilibru când energia este la extrem; acest extremum este de obicei minimul, așa că acesta se numește „principiul energiei minime”. Pentru a calcula energia șirului, integrăm densitatea de energie: $n$ $n-1$ $n=2$ $y(x)$

E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V(x)\right]dx,

unde este coeficientul de elasticitate al coardei și este energia potențială a gravitației . $k$ $V(x)$

Sarcina dinamică corespunzătoare este de a arunca o piatră în sus; pe traiectoria pietrei, în conformitate cu „ principiul celei mai mici acțiuni ”, se atinge un minim local al acțiunii (acțiunea este integrala funcției Lagrange):

S=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt))\right)^{2}-V(t)\right]dt

Am obținut rezolvarea problemei dinamice (până la un factor ) din rezolvarea celei statice folosind rotația Fitilului, înlocuind cu , cu , și coeficientul de elasticitate cu masa pietrei : $-i$ $X$ $t$ $dx$ $idt$ $k$ $m$

-iS=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{idt}}\right)^{2}+V(t)\right](idt)

=-i\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt))\right)^{2}-V(t)\right]dt

Link -uri

Rotirea fitilului Arhivat la 1 octombrie 2020 la Wayback Machine — o introducere pe blog
A Spring in Imaginary Time Arhivat 29 august 2009 la Wayback Machine - o fișă de lucru în mecanica lagrangiană care ilustrează modul în care înlocuirea lungimii cu timpul imaginar transformă parabola unui arc suspendat în parabola inversată a unei particule aruncate
Funcțiile lui Temperature Green - aici rotația Wick este folosită în statistica cuantică la temperaturi finite.