Turnul lui Givens

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 noiembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Dată rotație - în algebra liniară , un operator liniar pentru rotirea unui vector cu un unghi dat .

Matricea lui Givens [1] [2] [3]

Matricea Givens are următoarea formă: $G_{kl)$

$G_{kl}={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &\cos {\ phi }&\cdots &-\sin {\phi }&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &\sin {\phi }&\cdots &\ cos {\phi }&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix))$

Această matrice diferă de matricea de identitate doar prin submatrice

$M(\phi )={\begin{bmatrix}\cos {\phi }&-\sin {\phi }\\\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{bmatrix)}$

situate pe rânduri și coloane cu numere și . Este ortogonală. $k$ $l$

Dacă este dat un vector , atunci alegând $a={\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}^{T}\in \mathbb {R} ^{n}$ $s={\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))}\neq 0$

cos ⁡ ϕ = A k A k 2 + A l 2 {\displaystyle \cos {\phi }={\frac {a_{k}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))} $\cos {\phi }={\frac {a_{k}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))$ păcat ⁡ ϕ = − A l A k 2 + A l 2 {\displaystyle \sin {\phi }={\frac {-a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2)}))} $\sin {\phi }={\frac {-a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2)}))$

puteți seta a treia componentă a vectorului la zero : $l$ $A$

[ cos ⁡ ϕ − păcat ⁡ ϕ păcat ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ] [ A k A l ] = [ cos ⁡ ϕ ⋅ A k − păcat ⁡ ϕ ⋅ A l păcat ⁡ ϕ ⋅ A k + cos ⁡ ϕ ⋅ A l ] = [ A k 2 + A l 2 A k 2 + A l 2 − A l ⋅ A k + A k ⋅ A l A k 2 + A l 2 ] = [ A k 2 + A l 2 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos {\phi }&-\sin {\phi }\\\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} a_{k}\\a_{l}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\phi }\cdot a_{k}-\sin {\phi }\cdot a_{l}\\ \sin {\phi }\cdot a_{k}+\cos {\phi }\cdot a_{l}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}{\frac {a_{k}^{2} +a_{l}^{2}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\\{\frac {-a_{l}\cdot a_{k }+a_{k}\cdot a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix} {\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}\\0\end{bmatrix}}}

{\begin{bmatrix}\cos {\phi }&-\sin {\phi }\\\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} a_{k}\\a_{l}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\phi }\cdot a_{k}-\sin {\phi }\cdot a_{l}\\ \sin {\phi }\cdot a_{k}+\cos {\phi }\cdot a_{l}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}{\frac {a_{k}^{2} +a_{l}^{2}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\\{\frac {-a_{l}\cdot a_{k }+a_{k}\cdot a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix} {\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}\\0\end{bmatrix}}

Folosind rotațiile lui Givens, se poate calcula descompunerea QR a matricelor și se poate desena matrici hermitiene într-o formă tridiagonală .

Folosind matrice Givens pentru tridiagonalizare

Să dorim să reducem o matrice simetrică la o formă tridiagonală: $A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1p}&\cdots &a_{1q}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \ \a_{p1}&\cdots &a_{pp}&\cdots &a_{pq}&\cdots &a_{pn}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{q1}&\cdots &a_{ qp}&\cdots &a_{qq}&\cdots &a_{qn}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{np}&\cdots &a_{nq}& \cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

Unde . Apoi o înmulțim cu matricea de rotație a lui Givens: . este matricea transpusă. Acest lucru va schimba doar elementele și $a_{pq}=a_{qp}$ $G'_{pq}(\theta)AG_{pq}(\theta)$ $G$ $a_{pp}$ $a_{pq)$ $a_{qq)$

${\displaystyle a'_{pp}=c^{2}a_{pp}+2csa_{pq}+s^{2}a_{qq))$

$a'_{pq}=sc(a_{qq}-a_{pp})+(c^{2}-s^{2})a_{pq)$

${\displaystyle a'_{qq}=s^{2}a_{pp}-2csa_{pq}+c^{2}a_{qq))$

Aici primul denotă elementul care apare după rotație. Să alegem coeficienții și astfel încât elementul în afara diagonalei să fie setat la zero și relația dintre și cu și $c$ $s$ $c$ $s$ $\cos \phi$ $\sin \phi$

Apoi: $\phi =1/2\tan ^{-1}(2a_{pq}/(a_{pp}-a_{qq}))$

$c=\cos \phi$

$s=\sin\phi$

O astfel de rotație este aplicată succesiv pentru a elimina toate elementele din primul rând, cu excepția primelor două. Adică (1,2), (1,3), (1,4)...(1,n) Apoi linia co-a doua (2,3),(2, 4)...(2) ,n)

Cod C++:

pentru ( unsigned int i = 0 ; i < N -1 ; ++ i ) { pentru ( unsigned int j = i + 2 ; j < N ; ++ j ) { t = 2 * matr [ i ][ j ] / ( matr [ i ][ i ] - matr [ j ][ j ]); phi = 0,5 * atan ( t ); c = cos ( phi ); s = sin ( phi ); bii = c * c * matr [ i ][ i ] + 2 * c * s * matr [ i ][ j ] + s * s * matr [ j ][ j ]; bij = s * c * ( matr [ j ][ j ] - matr [ i ][ i ]) + matr [ i ][ j ] * ( c * c - s * s ); bjj = s * s * matr [ i ][ i ] + c * c * matr [ j ][ j ] - 2 * c * s * matr [ i ][ j ]; bji = bij ; matr [ i ][ i ] = bii ; matr [ i ][ j ] = bij ; matr [ j ][ i ] = bji ; matr [ j ][ j ] = bjj ; } }

Note

↑ Tyrtyshnikov E. E. Metode de analiză numerică. - M. , 2006. - S. 73-74.
↑ Björck, Åke, 1934-. Metode numerice pentru probleme cu cel puțin pătrate . - Philadelphia: SIAM, 1996. - S. 121-123. — xvii, 408 pagini p. - ISBN 0-89871-360-9 , 978-0-89871-360-2.
↑ Demmel, James W. Applied numerical linear algebra . - Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997. - S. 53-56. — xi, 419 pagini p. - ISBN 0-89871-389-7 , 978-0-89871-389-3, 0-89871-361-7, 978-0-89871-361-9.