Subcategorie
În matematică , o subcategorie a unei categorii C este o categorie S ale cărei obiecte sunt tot obiecte ale lui C și ale cărei morfisme sunt tot morfisme în C , cu aceleași morfisme de identitate și reguli de compoziție. Intuitiv, subcategoria S se obține din C prin eliminarea unor obiecte și morfisme.
Definiție formală
Fie C o categorie. Subcategoria S a categoriei C este definită de
- o subclasă de obiecte C , notată cu ob( S ),
- subclasa de morfisme C , notate cu hom( S ).
astfel încât să fie îndeplinite următoarele condiții:
- pentru fiecare X din ob( S ) morfismul identitar id X aparține lui hom( S ),
- pentru fiecare morfism f : X → Y la hom( S ), preimaginea sa X și imaginea Y se află în ob( S ),
- pentru fiecare pereche de morfisme f , g în hom( S ), compoziția f o g se află în hom( S ) dacă este definită în C .
Din aceste condiții rezultă că S este o categorie în sine. Există un functor strict I : S → C numit functor de încorporare .
O subcategorie S se numește subcategorie C completă dacă pentru fiecare pereche de obiecte X , Y din S
Tipuri de subcategorii
O subcategorie S a unei categorii C se numește izomorfism închis dacă orice izomorfism k : X → Y în C astfel încât Y aparține lui S aparține și lui S . O subcategorie completă închisă sub un izomorfism se numește subcategorie strict completă .
O subcategorie C este largă dacă conține toate obiectele C. În special, singura subcategorie largă completă a categoriei C este C în sine .
Vezi și
Literatură
- S. McLane Categorii pentru un matematician de lucru, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .