Subspațiul Krylov

În algebra liniară , un subspațiu de dimensiune Krylov , generat de un vector și o matrice , este un spațiu liniar $m$ $v\in {\mathbb {C}}^{n}$ $A\în {\mathbb {C}}^{{n\ori n}}$

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operatorname {span}\{v,Av,A^{2}v,...,A^{{m-1}}v\ }.$

Subspațiul Krylov este un subspațiu al spațiului vectorial peste câmpul numerelor complexe : ${\mathcal {K}}_{m}\subset \mathbb {C} ^{n}.$

Astfel de spații au fost numite după matematicianul aplicat rus și inginerul naval A. N. Krylov , care a publicat o lucrare despre această problemă în 1931.

Dimensiunea subspațiului Krylov

Datorită dimensionalității finite a spațiului, există astfel încât vectorii sunt independenți liniar și există o combinație liniară a acestor vectori cu coeficienți $\mathbb{C}^{n}$ $p\;(0\leq p\leq n),$ $v,\;Av,\;A^{2}v,\;...,\;A^{p-1}v$ $A^{p}v$ $\gamma _{1},\;\gamma _{2},\;...,\;\gamma _{p}:$

$A^{p}v=-\gamma _{1}A^{p-1}v-\gamma _{2}A^{p-2}v-...-\gamma _{p }v$

Compunem un polinom și obținem: $\varphi (\lambda )=\lambda ^{p}+\gamma _{1}\lambda ^{{p-1}}+\gamma _{2}\lambda ^{{p-2}}+.. .+\gamma _{p}$

$\varphi (A)v=0.$

Polinomul de grad este polinomul minim al vectorului v în raport cu matricea A . $\varphi (A)$ $p$

Proprietățile subspațiului Krylov

1. invariant faţă de şi pentru orice

{\mathcal {K}}_{p}

A

{\mathcal {K}}_{m}={\mathcal {K}}_{p}

m\geq p.

dim({\mathcal {K}}_{m})=\min\{m,p\}.

Metode de tip Krylovsky

Algoritmii care folosesc subspații Krylov sunt denumiți în mod tradițional metode de tip Krylov. Ele sunt printre cele mai de succes metode disponibile în prezent pe algebra liniară numerică.

Metode iterative moderne de găsire a valorilor proprii și metode de rezolvare a SLAE, concentrate pe matrici de dimensiuni mari, evită operațiile matrice-matrice și, mai des, înmulțesc matricea cu vectori și lucrează cu vectorii rezultați:

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operatorname {span}\{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{m}\},$

Unde

$v_{1}=v,\;v_{2}=Av_{1},\;v_{3}=Av_{2},\;...,\;v_{m}=Av_{{m-1 }}$ .

Cele mai cunoscute metode subspațiale Krylov sunt metoda Arnoldi , metoda Lanczos , metoda gradientului conjugat , GMRES , BiCG , BiCGSTAB , QMR , TFQMR și MinRES .

Vezi și

Metoda lui Krylov pentru găsirea polinomului caracteristic al matricei .
Metode de proiecție pentru rezolvarea SLAE
Biortogonalizarea Lanczos
Biblioteca de șabloane iterative

Literatură

Krylov A.N. Despre soluția numerică a unei ecuații care determină frecvențele micilor oscilații ale sistemelor materiale în materie tehnică. . - 1931. - S. 26 .
Saad Y. Metode iterative pentru sisteme liniare rare . — ediția a II-a. - SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics, 2003. - P. 477 . — ISBN 0898715342 .
Teoria matricei Gantmakher F.R. — ediția a II-a. - M .: Nauka, 1966. - S. 576. - ISBN 5-9221-0524-8 .
Balandin M. Yu., Shurina EP Metode pentru rezolvarea SLAE-urilor cu dimensiuni mari. - Novosibirsk: NSTU, 2000. - S. 70.