Momentul polar de inerție

Momentul polar de inerție este suma integrală a produselor ariilor, ariilor elementare dA și pătratului distanței acestora de la pol - ρ 2 , luate pe întreaga suprafață a secțiunii transversale. Acesta este:

J_{{p0}}=\int _{A}\rho ^{2}\,dA

Această valoare este folosită pentru a prezice capacitatea unui obiect de a rezista la torsiune . Are dimensiunea unităților de lungime până la a patra putere ( m 4 , cm 4 ) și poate fi doar pozitivă.

Pentru o zonă în secțiune transversală care are forma unui cerc cu raza r , momentul polar de inerție este:

J_{p0}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\phi ={ \frac {\pi r^{4}}{2}}={\frac {\pi (D/2)^{4}}{2}}={\frac {\pi D^{4}}{ 32}}.

Dacă combinăm originea sistemului de coordonate cartezian dreptunghiular 0 cu polul sistemului polar (vezi figura), atunci:

J_{{p0}}=J_{x}+J_{y}

deoarece $\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}.$

Aplicație

Momentul polar de inerție este utilizat în formule care descriu relația dintre tensiunile de forfecare și cuplul care le provoacă. Efort de forfecare:

\tau ={\frac {Tr}{J_{{p0))))

Unde

T

- cuplu

r

- distanta fata de axa de torsiune

{J_{{p0}}}}

este momentul polar de inerție.

Momentul de inerție polar pentru unele cazuri

Pentru o secțiune solidă rotundă:

J_{{p0}}={\frac {\pi D^{4}}{32}}

unde este diametrul cercului. $D$

Pentru o secțiune inelară (arbore tubulară):

J_{p0}={\frac {\pi D^{4}}{32}}\left(1-{\frac {d^{4}}{D^{4}}}\right) ,

unde este diametrul exterior al inelului,

D

d

este diametrul interior al inelului.

Vezi și

Momentul polar de rezistență
Moment de inerție

Literatură

Feodosiev V.I. Rezistența materialelor. Ed. al 10-lea, revizuit. si suplimentare - M.: MSTU im. N. E. Bauman, 1999. Recensori Academician al Academiei Ruse de Științe Obraztsov I.F. și doctor în științe tehnice profesorul Chirkov I.P.