Secvența de a privi și a spune

Secvența Look-and-Say  este o secvență de numere care începe astfel:

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211,… (secvența A005150 în OEIS ).

Fiecare număr ulterior este generat din cel precedent prin concatenarea cifrei care alcătuiește un grup de cifre identice și a numărului de cifre din acest grup, pentru fiecare grup de cifre identice din număr. De exemplu:

Secvența de a-și spune a fost propusă de John Conway [1] .

Pentru o cifră arbitrară d , cu excepția uneia, ca și cea inițială, secvența ia forma:

d , 1 d , 111 d , 311 d , 13211 d , 111312211 d , 31131122211 d , …

Proprietăți de bază

Creștere

Secvența crește la nesfârșit. De fapt, orice variantă a secvenței cu o sămânță întreagă va crește la infinit. Excepția este secvența:

22, 22, 22, 22, 22, … (secvența A010861 în OEIS ).

Limitarea cifrelor utilizate

Nu există alte cifre decât 1, 2 și 3 în succesiune, cu excepția cazului în care numărul inițial conține alte cifre sau un grup de mai mult de trei cifre [2] .

Creșterea în lungime a numerelor

În medie, numerele cresc cu 30% pe iterație. Dacă denotă lungimea celui de-al n-lea membru al secvenței, atunci există o limită de relație :

.

Aici λ = 1,303577269034... este constanta lui Conway [2] . Același rezultat este valabil pentru orice variantă a secvenței cu o sămânță diferită de 22.

Polinom care returnează constanta lui Conway

Constanta lui Conway este singura rădăcină reală pozitivă a unui polinom:

În articolul său original, Conway face greșeala de a scrie „−” în loc de „+” înainte de . Dar valoarea lui λ dată în lucrarea sa este corectă [3] .

Popularizare

Secvența Look-and-Say este cunoscută și sub numele de secvența numerică Morris, după criptograful Robert Morris . Denumit uneori „oul cucului” din cauza puzzle-ului „Care este următorul număr din secvența 1, 11, 21, 1211, 111221?” descris de Morris în cartea lui Clifford Stoll Oul cucului.

Variante

Există multe variații de reguli pentru crearea secvențelor de arătare. De exemplu, secvența „model de mazăre”. Diferă de Look-and-Say prin faptul că, pentru a obține un număr nou în el, trebuie să numărați toate aceleași cifre din număr. Începând cu numărul 1, obținem: 1, 11 (unul unu), 21 (două), 1211 (unul doi, unul unul), 3112 (trei unu, unul doi), 132112 (unul trei, doi unul, unul doi), 312213 (trei 1, doi 2, unul 3), etc. Ca rezultat, succesiunea ajunge la un ciclu de două numere, 23322114 și 32232114. [4]

Există o altă opțiune care diferă de „modelul de mazăre” prin faptul că numerele sunt numărate în ordine crescătoare și nu așa cum apar. Pornind de la unul, obținem secvența: 1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, ...

Aceste secvențe au diferențe notabile față de Look-and-Say. Spre deosebire de secvența Conway, un termen dat într-un „model de mazăre” nu identifică în mod unic termenul anterior. Lungimea numerelor din „modelul de mazăre” este limitată și, pentru sistemul numeric b-ary , nu depășește 2b și ajunge la 3b pentru numerele inițiale mari (de exemplu, „o sută de unități”).

Având în vedere că această secvență este infinită și lungimea ei este limitată, ea trebuie în cele din urmă să se repete, conform principiului Dirichlet . În consecință, aceste secvențe sunt întotdeauna periodice.

Vezi și

Note

  1. ↑ John Horton Conway. Chimia ciudată și minunată a dezintegrarii audioactive   // ​​Eureka . - 1986. - ianuarie ( vol. 46 ). - P. 5-16 . Arhivat din original pe 11 octombrie 2014.
  2. ↑ 12 Oscar Martin . Biochimie Priviți și Spune: ARN exponențial și ADN multicatenar //  American Mathematical Monthly. - 2006. - Vol. 113 , nr. 4 . - P. 289-307 . — ISSN 0002-9890 . Arhivat din original pe 24 decembrie 2006.  
  3. ↑ Ilan Vardy. Recreere computațională în Mathematica.
  4. ↑ Generator de modele de mazăre ascendentă . Preluat la 9 august 2018. Arhivat din original la 17 octombrie 2016.