Exemplu Hadamard

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 septembrie 2018; verificările necesită 2 modificări .

Exemplul lui Hadamard ilustrează posibilitatea unei formulări incorecte a problemei Cauchy clasice .

Luați în considerare următoarea problemă Cauchy pentru ecuația Laplace :

u_{{tt}}(x,t)=-u_{{xx}}(x,t),~t>0

;

u\mid _{{t=0}}=0,~~u_{t}\mid _{{t=0}}={\frac {1}{k}}\sin {kx}

Atunci este ușor să arătăm că soluția unei astfel de ecuații va fi funcția:

u_{k}(x,t)={\frac {\operatorname {sh}\,kt}{k^{2))}\sin {kx}

Când este clar că prin ; prin urmare, soluția trebuie să se apropie și de zero. Cu toate acestea, în cazul general, când . Adică, nu există o dependență continuă de datele inițiale și, prin urmare, problema este setată incorect. $k\rightarrow +\infty$ ${\frac {1}{k}}\sin {kx}\rightrightarrows 0$ $X$ $x\neq \pi n,n=0,\pm 1,\dots ,u_{k}(x,t)\nu \la 0,~k\rightarrow \infty$

Vezi și

Condiții inițiale și limită

Literatură

Sobolev S. L. Ecuații ale fizicii matematice. - Orice ediție.
Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuații ale fizicii matematice. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .

Link -uri

Corectitudinea conform lui Hadamard