Linia lui Euler

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 septembrie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Linia Euler este o linie dreaptă care trece prin centrul cercului circumscris și ortocentrul triunghiului .

Proprietăți

• Linia Euler trece prin:
  • Triunghiul Centroid
  • Triunghi ortocentru
  • Punctul de intersecție al perpendicularelor medii cu laturile triunghiului (centrul cercului circumscris)
  • Centru cerc cu nouă puncte
  • Exeter Point X(22)
  • teorema lui Euler. Punctul de intersecție al medianelor M se află pe linia Euler și împarte segmentul dintre centrul cercului circumscris O și ortocentrul H în raport 1:2 ( ).
  • Linia care trece prin cele două puncte ale lui Vecten și intersectează linia Euler în centrul celor nouă puncte ale triunghiului .
  • Ecuația dreptei Euler în coordonate triliniare este

• Punctele de intersecție ale dreptelor care conțin laturile ortotriunghiului cu liniile care conțin laturile triunghiului se află și ele pe aceeași dreaptă . Această linie se numește axă ortocentrică și este perpendiculară pe linia lui Euler.

• Teorema lui Schiffler afirmă următoarele: Dacă luăm în considerare trei triunghiuri BCI , CAI și ABI într-un triunghi ABC cu centrul cercului înscris I , atunci cele trei ( prima ) drepte ale lor Euler, precum și ( prima ) linie Euler a triunghiului ABC (toate cele patru linii) se intersectează într-un punct — în punctul Schiffler Sp (vezi figura din dreapta).

A doua linie Euler (linia Euler-Nagel)

Linia Euler de mai sus este uneori numită (prima) linie Euler generalizată [1] . Există 4 puncte pe această linie:

• centroidul triunghiului dat _ _ _ _ _
• ortocentrul unui triunghi dat ABC
• centrul cercului circumscris triunghiului dat ABC (este, de asemenea, centrul cercului Euler al triunghiului anticomplementar A"B"C" )
• centrul cercului Euler al triunghiului dat ABC
• Unii autori (vezi imaginea la faculty.evansville.edu ) adaugă un alt punct Longchamp L - un punct de reflexie al ortocentrului triunghiului ABC în raport cu centrul său al cercului circumscris (L= punctul de Longchamps = translație nu conform regulilor ), introdus de matematicianul francez Gaston Albert Gohierre. Acest punct este ortocentrul triunghiului anticomplementar [2] [3] .

A doua linie Euler sau linia Euler-Nagel este definită de următoarea teoremă a lui Huzel .

• Teorema lui Husel rafinată (Housel). Centrul de greutate ( G ) al unui triunghi dat ABC ( centroidul ), centrul cercului ( I ), punctul său Nagel ( M ) și centrul ( S ) cercului înscris în triunghiul complementar A'B „C” (sau centrul lui Spieker ) se află pe o singură linie dreaptă . Mai mult [4] ,

Linia indicată este uneori numită a doua linie Euler sau linia Euler-Nagel . Există 4 puncte pe această linie:

• centroidul ( G ) al triunghiului dat (este, de asemenea, centroidul triunghiului complementar , și este și centroidul triunghiului anticomplementar ).
• Punctul Nagel ( M ) al triunghiului dat ABC (este și centrul cercului înscris în triunghiul anticomplementar A"B"C" )
• centrul cercului ( I ) al triunghiului dat ABC
• centrul ( S ) al unui cerc înscris în triunghiul complementar A'B'C' , numit și centrul lui Spieker .

• Toate liniile Euler generalizate trec în mod necesar prin centroidul triunghiului dat, care este atât centroidul triunghiului complementar, cât și al triunghiului anticomplementar .

Perspectiva lui Gossard și replicile lui Euler

Dacă luăm orice pereche de laturi din triunghiul ABC și luăm prima linie Euler a triunghiului ABC ca a treia latură , atunci trei triunghiuri pot fi construite prin enumerarea a trei opțiuni. Primele lor linii Euler formează un triunghi AgBgCg congruent cu triunghiul ABC (egal cu acesta, dar rotit cu un anumit unghi). Trei perechi de segmente care conectează vârfuri similare ale acestor două triunghiuri congruente se vor intersecta într-un punct Pg, numit perspectiva Gossard .

Link

Gossard Perspector http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html

Istorie

Teorema lui Euler a fost demonstrată în 1765 de L. Euler . Apoi a descoperit și faptul că punctele medii ale laturilor unui triunghi și bazele altitudinilor sale se află pe același cerc - cercul Euler .

Vezi și

• Lista obiectelor numite după Leonhard Euler
• Direct Ober
• Linia dreaptă a lui Simson

Note

1. ↑ Zetel, 1962 , p. 153.
2. ↑ archive.lib.msu.edu . Data accesului: 4 septembrie 2015. Arhivat din original pe 2 iunie 2013. (nedefinit)
3. ↑ facultate.evansville.edu . Consultat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original pe 10 februarie 2007. (nedefinit)
4. ↑ A. Bogomolny Nagel Line din Interactive Mathematics Miscellany and  Puzzles . Preluat la 8 aprilie 2019. Arhivat din original la 10 mai 2012.

Literatură

• Leonhard Euler . Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum // Novi Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. 1767, v. 11. - S. 103-123. Retipărit în Opera Omnia, ser. I, vol. XXVI, pp. 139-157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR0061061.
• Dm. Efremov. Noua geometrie a triunghiului . - 1902.
• Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Noi întâlniri cu geometria. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Biblioteca Cercului Matematic).
• Curs optional de matematica. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M . : Educaţie , 1991. - S. 96-97. — 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 . .
• Zetel S.I. Noua geometrie a triunghiului. Un ghid pentru profesori. Ediția a II-a .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - 153 p.

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex