Poligon echilateral

Un poligon echilateral este un poligon în care toate laturile sunt egale. De exemplu, un triunghi echilateral este un triunghi în care toate cele trei laturi sunt aceleași; toate triunghiurile echilaterale sunt similare și au unghiuri interioare 60 de grade. Un patrulater echilateral este un romb , iar un pătrat este un caz special al unui romb.

Proprietăți

Un poligon echiunghiular care este, de asemenea, echiunghiular este un poligon obișnuit .

Un poligon echilateral înscris într-un cerc (vârfurile sale se află pe cerc) este un poligon regulat (adică un poligon care este atât echilateral, cât și echiunghiular în același timp ).

Poligonul circumscris (care are un cerc tangent la toate laturile sale) este echilateral dacă și numai dacă unghiurile prin unu sunt egale (adică, cu numerotarea secvențială a unghiurilor, unghiurile cu numerele 1, 3, 5, ... sunt egale și unghiurile 2, 4, … sunt egale). Astfel, dacă este impar, poligonul circumscris este echilateral dacă și numai dacă este regulat [1] . $n$

Toate patrulaturile echilaterale sunt convexe , dar există pentagoane echilaterale concave , precum și poligoane echilaterale convexe cu mai multe laturi.

Fiecare diagonală principală a unui hexagon o împarte în patrulatere. În orice hexagon echilateral convex cu o latură comună , există [2] o diagonală principală astfel încât: $A$ $d_{1}$

{\frac {d_{1}}{a}}\leqslant 2

și diagonala principală , astfel încât: $d_{2}$

{\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}

Există o succesiune finită de reflexii elementare care transformă orice poligon echilateral într-unul regulat [3] [4] .

Teorema lui Viviani

Teorema lui Viviani privind constanța sumei distanțelor de la un punct interior arbitrar la fiecare dintre laturi este generalizată pentru poligoane echilaterale [5] . Într-adevăr, reprezentând laturile poligonului ca vectori , în plus, alegând direcții astfel încât sfârșitul unui vector să fie începutul altuia, suma acestor vectori este egală cu zero și, prin urmare: $(a_{i},b_{i})$

\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0

, .

\sum _{i=1}^{n}b_{i}=0

Fără pierderea generalității, putem presupune că toate lungimile vectorilor sunt egale cu 1. Rotind toți vectorii cu 90 ° în aceeași direcție, obținem vectori și toți vor fi normali la laturi. Ecuația unei drepte care trece prin latură va fi dată de ecuația . Deoarece lungimea vectorului este egală cu unu, distanța până la linie de la orice punct al planului va fi egală (distanța poate fi negativă - depinde de semiplanul în care se află punctul) și suma distanțe este egală , adică nu depinde de poziția punctului. $(-b_{i},a_{i})$ $i$ $-b_{i}x+a_{i}y+c_{i}=0$ $(X y)$ $-b_{i}x+a_{i}y+c_{i}$ $\sum _{i=1}^{n}(-b_{i}x+a_{i}y+c_{i})=-x\sum _{i=1}^{n}b_ {i}+y\sum _{i=1}^{n}a_{i}+\sum _{i=1}^{n}c_{i}=\sum _{i=1}^{n }c_{i}$

Aria și perimetrul poligoanelor echilaterale

Dacă este impar, atunci un -gon regulat de diametru unitar dă suprafața și perimetrul maxim posibil [6] . $n$ $n$
Un -gon regulat este singura soluție în problema găsirii ariei maxime a unei figuri de diametru unitar, dacă impar, dar în problema găsirii perioadei maxime dacă impar, soluția este unică numai pentru cele simple . $n$ $n$ $n$ $n$
Dacă și este par , atunci un -gon obișnuit de diametru unitar nu oferă nici o suprafață maximă, nici un perimetru maxim. $n$ $n\geqslant 6$ $n$
Dacă are un divizor impar, atunci orice poligon cu perimetru maxim este echilateral. $n$

Vezi și

Pentagon echilateral

Note

↑ Michael De Villiers. Poligoane echiunghiulare ciclice și echilaterale circumscrise // Mathematical Gazette . - martie 2011. - Emisiune. 95 . - S. 102-107 .
↑ Inegalități propuse în „Crux Mathematicorum” , [1] Arhivat 30 august 2017 la Wayback Machine . p.184,#286.3
↑ Godfried Toussaint. Teorema Erds–Nagy și ramificațiile sale // Geometrie computațională. - 2005. - Emisiune. 31 . - S. 219-236 .
↑ Kenneth C. Millett. Înnodarea poligoanelor regulate în 3-spații // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. - 1994. - T. 3 , nr. 3 . - S. 263-278 .
↑ Elias Abboud. Despre teorema lui Viviani și extinderile sale // College Mathematics Journal. - martie 2010. - T. 43 (3) .
↑ Michael J. Mossinghoff. O problemă izodiametrică pentru poligoane echilaterale // Matematică contemporană. - 2008. - T. 457, .

Link -uri

Triunghi echilateral Cu animație interactivă
O proprietate a poligoanelor echiunghiulare: despre ce este vorba? o discuție despre teorema lui Viviani la Cut-the-knot .