Distribuția Dirichlet

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 mai 2021; verificarea necesită 1 editare .

În teoria probabilităților și statistica matematică , distribuția Dirichlet (numită după Johann Peter Gustav Lejeune-Dirichlet ), adesea denumită Dir( α ), este o familie de distribuții de probabilitate multidimensionale continue ale numerelor reale nenegative parametrizate de vectorul α . Distribuția Dirichlet este o generalizare a distribuției Beta la cazul multivariat. Adică, funcția sa de densitate de probabilitate returnează probabilitatea de încredere ca probabilitatea fiecăruia dintre cele K evenimente care se exclud reciproc este egală , având în vedere că fiecare eveniment a fost observat o dată. $x_{i}$ $\alpha _{i}-1$

Funcția de densitate de probabilitate

Funcția de densitate de probabilitate pentru o distribuție Dirichlet de ordin K este [1] :

f(x_{1},\dots ,x_{K};\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K})={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha )} }\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}

unde , , , și este o funcție beta multidimensională , unde $x_{i}\geq 0$ $\sum _{i=1}^{K}x_{i}=1$ $\alpha _{i}>0$ ${\mathrm {B} (\alpha )}={\frac {\prod \limits _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left( \sum \limits _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}}$ ${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{K}).$

Proprietăți

Lasă și apoi [1] $X=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha )$ $\alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i},$

\mathrm {E} [X_{i}\mid \alpha ]={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}},

\mathrm {Var} [X_{i}\mid \alpha ]={\frac {\alpha _{i}(\alpha _{0}-\alpha _{i})}{\alpha _{ 0}^{2}(\alpha _{0}+1)}},

\mathrm {Cov} [X_{i}X_{j}\mid \alpha ]={\frac {-\alpha _{i}\alpha _{j}}{\alpha _{0}^{ 2}(\alpha _{0}+1)}}.

Modul de distribuție este vectorul x ( x 1 , …, x K ) cu

x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\alpha _{0}-K)),\quad \alpha _{i}>1.

Distribuția Dirichlet este conjugatul anterioară distribuției multinomiale și anume: dacă

\beta \mid X=(\beta _{1},\ldots,\beta _{K})\mid X\sim \operatorname {Mult} (X),

unde β i este numărul de apariții ale lui i într-un eșantion de n puncte ale unei distribuții discrete pe {1, …, K } definită prin X , atunci

X\mid \beta \sim \operatorname {Dir} (\alpha +\beta).

Această relație este utilizată în statistica bayesiană pentru estimarea parametrilor latenți, X , ai unei distribuții de probabilitate discrete având în vedere un set de n eșantioane. Evident, dacă priorul este notat cu Dir( α ), atunci Dir( α + β ) este distribuția posterioară după o serie de observații cu histograma β .

Relații cu alte distribuții

Dacă pentru $i\în\{1,2,\ldots ,K\},$

Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} ({\textrm {formă}}=\alpha _{i},{\textrm {scale}}=1)

indiferent, atunci

V=\sum _{i=1}^{K}Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} ({\textrm {formă}}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{ i},{\textrm {scale}}=1),

și

(X_{1},\ldots ,X_{K})=(Y_{1}/V,\ldots ,Y_{K}/V)\sim \operatorname {Dir} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}).

Deși X i nu sunt independenți unul de celălalt, ele pot fi generate dintr-un set de variabile aleatoare gamma independente . Din păcate, deoarece suma se pierde în procesul de formare a X = ( X 1 , …, X K ), devine imposibil să se restabilească valorile inițiale ale variabilelor aleatoare gamma numai din aceste valori. Totuși, datorită faptului că este mai ușor să lucrezi cu variabile aleatoare independente, această transformare a parametrilor poate fi utilă în demonstrarea proprietăților distribuției Dirichlet. $K$ $V$

Generarea numerelor aleatorii

Metoda de construire a unui vector aleatoriu pentru o distribuție Dirichlet de dimensiune K cu parametri rezultă direct din această conexiune. În primul rând, obținem K eșantioane aleatoare independente din distribuțiile gamma , fiecare dintre acestea având o densitate $x=(x_{1},\ldots ,x_{K})$ $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})$ $y_{1},\ldots ,y_{K}$

{\frac {y_{i}^{\alpha _{i}-1}\;e^{-y_{i)}}{\Gamma (\alpha _{i))))),

si apoi pune

x_{i}=y_{i}\left/\sum _{j=1}^{K}y_{j}\right..

Interpretarea vizuală a parametrilor

Ca exemplu de utilizare a distribuției Dirichlet, putem propune o problemă în care este necesară tăierea firelor (fiecare cu o lungime inițială de 1,0) în K părți cu lungimi diferite, astfel încât toate părțile să aibă o lungime medie dată, dar cu posibilitatea unor variaţii în lungimile relative ale pieselor. Valorile α / α 0 determină lungimile medii ale pieselor de filet rezultate din distribuție. Dispersia în jurul mediei este invers proporțională cu α 0 .

Vezi și

Note

↑ 1 2 Groot, 1974 , p. 56-58.

Literatură

M. de Groot Optimal Statistical Decisions = Optimal Statistical Decisions. —M.: Mir, 1974. — 492 p.