Metrica informațională riemanniană

Metrica de informații Riemann (ing. Riemann information metric ) este singura metrică riemanniană pe seturi de distribuții de probabilitate, până la un factor constant, care este invariant în conformitate cu regulile de decizie statistică ale categoriei . Pentru două distribuții de probabilitate și pe același spațiu măsurabil al rezultatelor elementare , metrica informațiilor Riemanniană este dată de distanța sferică Bhattacharya-Rao : $P$ $Q$ $(\Omega, {\mathfrak {A}})$

s(P,Q)=2\arccos \int _{\Omega }^{}{\sqrt {P(d\omega)Q(d\omega )))

În special, dacă distribuțiile au densități și , respectiv , unde , atunci $p(x)$ $q(x)$ $x\în X\subseteq R$

s(P,Q)=2\arccos \int _{X}^{}{\sqrt {p(x)q(x)))dx

În mod similar, în cazul discret:

s(P,Q)=2\arccos \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {p_{i}q_{i)))

, unde .

n=|\Omega |

Valoarea informațiilor locale riemanniană este determinată de cantitatea de informații Fisher : pentru o familie netedă

\{P_{t}|\,t\in \Theta \subseteq R^{k}\}\subset \operatorname {cap} (\Omega, {\mathfrak {A})}

la punctul are loc $P_{\theta }$

ds^{2}=\sum _{i,j}^{k}dt^{i}dt^{j}I_{ij}(\theta )

unde sunt elementele matricei informaţionale Fisher . În ciuda acestei proprietăți a metricii Bhattacharya-Rao, ea joacă un rol mai puțin important în studiile teoretice decât divergența Kullback-Leibler . $I_{ij}(\theta )$