Convoluția tensorială

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 27 octombrie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Convoluția în calculul tensorului este operația de scădere a valenței tensorului cu 2, care transformă tensorul de valență în tensorul de valență . $(m, n)$ $(m-1, n-1)$

Definiție

În cel mai simplu caz, contracția pentru un tensor simplu de tip , este definită ca un scalar . Această operație continuă liniar la toți tensorii de tip . $v\otimes f$ $(1,1)$ $f(v)$ $(1,1)$

În general, un tensor de tip poate fi privit ca o mapare liniară de la spațiul tensorilor de valență la spațiul tensorilor de valență ; pentru a alege o astfel de reprezentare, trebuie să alegeți un indice cocontravariant. Convoluția imaginii oferă o mapare din spațiul tensorilor de valență la scalari, adică tensorul de valență . Se numește convoluția tensorului de către cei doi indici dați. $(m, n)$ $(n-1,m-1)$ $(1,1)$ $(n-1,m-1)$ $(m-1, n-1)$

Notație

În coordonate, se scrie astfel:

{T^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}_{j_1, \dots, \underline{j_0}, \dots, j_n}} \rightarrow {T^{i_1, \dots, i_n}_{j_1, \dots, j_n}} = {T^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}_{j_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, j_n }}

unde regula de însumare Einstein este aplicată peste indici multivarianți repetați (superioare și inferioare), adică în acest caz peste . $i_{0}$

Adesea, operația de convoluție este efectuată pe tensori care sunt produse de tensori sau, pe scurt, doi sau mai mulți tensori sunt convoluți.

De exemplu, există o înregistrare a înmulțirii obișnuite a matricei A cu matricea B, adică în notația matriceală obișnuită, scriind indicii în partea de jos și neomițând semnul sumei, acesta este $A^i_j B^j_k$

\sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}

În principiu, convoluția este întotdeauna efectuată peste indicii superior și inferior, cu toate acestea, dacă este dat tensorul metric , indicii co- și contravarianți pot fi traduși în mod unic unul în celălalt (creștere și coborâre), astfel încât convoluția poate fi efectuată. peste orice pereche de indici folosind tensorul metric, dacă ambii indici sunt superiori sau inferiori. De exemplu:

A_{ij} B_{jk} = A_{ij} g^{jm} B_{mk} = A_{ij} B^j_{\ k} = C_{ik}

Notă : operația de pliere este definită și are sens nu numai pentru obiectele tensor. În orice caz, în componente, exact aceeași operație este utilizată pentru convoluția cu matrici de transformare de coordonate (matrice Jacobi ) și cu componente de conexiune afine care nu sunt reprezentări ale tensoarelor. Aceste circumvoluții au, de asemenea, o semnificație geometrică clară și joacă un rol important în analiza tensorilor și sunt, de asemenea, utilizate pentru a construi o reprezentare a obiectelor tensorale reale, cum ar fi tensorul de curbură .

Exemple

Plierea unui tensor peste o pereche de indici peste care este anti-simetrică dă un tensor zero.
Convoluția unui vector v cu un tensor A de rang (1,1) reprezintă înmulțirea vectorului cu un operator liniar, cum este un astfel de tensor față de vector. $A^i_{\ j} v^j$
Convoluția vectorilor a și b cu tensorul B de rang (0,2) este o formă biliniară ; deci convoluția a doi vectori cu un tensor metric dă produsul lor scalar. $\ B_{ij} a^ib^j$ $\ g_{ij} a^ib^j$
Inclusiv - forma patratica ; astfel convoluția cu tensorul metric dă pătratul normei vectorului. $\ B_{ij}v^iv^j$
Convoluția unui vector covariant și contravariant dă acțiunea formei 1 asupra vectorului sau, dacă considerăm componentele covariante doar ca o reprezentare duală a vectorului real, atunci acesta este produsul scalar a doi vectori, unul dintre care este reprezentat în baza duală. $\ a_j b^j$
Convoluția tensorului A de rang (1,1) (cu sine) este urma matricei . Acesta este cel mai simplu caz de construire a unui invariant (scalar) dintr-un tensor. $A^j_{\ j}$ $A^i_{\ j}$
Acțiunea unui operator liniar asupra spațiului tensorilor unui anumit rang este o convoluție cu un tensor de două ori mai mare, covariant de câte ori contravariant, de exemplu (în notație de coordonate): $B^i_{jk} = L^{i\ \ \ qr}_{jkp} A^p_{qr}$

Proprietăți

O convoluție (corectă) a unuia sau mai multor tensori (inclusiv vectori și scalari) dă întotdeauna un tensor (incluzând, eventual, un vector sau scalar).

Literatură

Vinberg E. B. Curs de algebră. - 2. - Moscova: MTSNMO, 2014. - S. 347. - 590 p. — ISBN 978-5-4439-2013-9 .