Semnătura (algebră liniară)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 noiembrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

În algebra liniară, o semnătură este o caracteristică numerică a unei forme pătratice sau spațiu pseudo-euclidian în care produsul scalar este dat de forma pătratică corespunzătoare.

Definiție

Fiecare formă pătratică cu coeficienți reali poate fi redusă printr-o schimbare liniară nedegenerată a variabilelor la forma canonică

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{{p+1}}^{2}-x_{{p+2} }^{2}-\cdots -x_{{p+q}}^{2}.

Diferența dintre numărul de termeni pozitivi și negativi din această notație se numește semnătura formei pătratice. Numerele p și q ale semnăturii nu depind de modalitățile de aducere a formei la forma canonică ( legea inerției lui Sylvester ). $pq$

Semnătura unei forme pătratice este scrisă și ca o pereche de numere sau ca un număr adecvat de plusuri și minusuri. $(p,q)$ $(+\cdots+-\cdots-)$

Exemplu

O formă pătratică în două variabile poate fi redusă la o formă canonică , de exemplu, folosind o schimbare liniară a variabilelor: $x_{1}x_{2}$ ${\tilde x}_{1}^{2}-{\tilde x}_{2}^{2},$

$x_{1}=({\tilde {x}}_{1}+{\tilde {x}}_{2}),$ $x_{2}=({\tilde {x}}_{1}-{\tilde {x}}_{2}).$

Semnătura acestei forme pătratice este zero sau poate fi scrisă ca sau ca $(1,1)$ $(+-).$

Vezi și

Literatură

Maltsev AI Fundamentele algebrei liniare. — M.: Nauka, 1975.
Gelfand I. M. Prelegeri despre algebră liniară. — M.: Nauka, 1971.
Faddeev D. K. Prelegeri despre algebră. — M.: Nauka, 1984.
V. A. Ilyin, E. G. Poznyak Linear Algebra, M.: M.: Nauka, Fizmatlit, 1999.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie. — M.: Fizmatlit, 2009.