Simetrizarea și antisimetrizarea unui tensor

Simetrizarea și antisimetrizarea unui tensor sunt operațiile de construire a unui tensor de același tip cu un anumit tip de simetrie. De exemplu, o simetrizare a unui tensor este un tensor simetric , iar o antisimetrizare este un tensor antisimetric . $T_{ij}$ $\scriptstyle T_{(ij)} = {1\peste 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)$ $\scriptstyle T_{[ij]} = {1\peste 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)$

Operație de simetrizare :

A_{(m_{1}\ldots m_{k})m_{k+1}m_{q))^{n_{1}\ldots n_{p))={\frac {1}{k !}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{k})}A_{\sigma (m_{1})\ldots \sigma (m_{k})m_{k+1}m_{ q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}

Însumarea se realizează peste toate permutările indicilor încadrați în paranteze. Simetrizarea indicilor superiori este definită în mod similar; se poate simetriza doar peste un grup de indici de acelasi tip. Operația poate fi aplicată și produsului tensor al mai multor tensori (care este și un tensor). Exemple: $\sigma (m_{1}\ldots m_{k})$

A_{(klm)}={\frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}+A_{kml}+A_{lkm}+A_{mlk })

Operația de antisimetrizare sau alternanță este definită după cum urmează:

A_{[m_{1}\ldots m_{k}]m_{k+1}m_{q))^{n_{1}\ldots n_{p))={\frac {1}{k !}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{k})}\operatorname {sgn} \sigma \cdot A_{\sigma (m_{1})\ldots \sigma (m_{k} )m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}

Însumarea este din nou efectuată peste toate permutările indicilor, dar acum incluse între paranteze drepte și ținând cont de paritatea permutării . Exemple: $\sigma (m_{1}\ldots m_{k})$ $\operatorname {sgn} \sigma$

A_{[klm]}={\frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}-A_{kml}-A_{lkm}-A_{mlk })

;

A_{k}^{q[l}B_{pr}^{m]}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{ql}B_{pr}^{m }-A_{k}^{qm}B_{pr}^{l})

Unii autori preferă să nu scrie factorul în formulele de simetrizare și antisimetrizare. Ar trebui să acordați atenție acestui lucru, deoarece alte formule sunt modificate în consecință, ceea ce poate fi confuz. ${\frac {1}{k!)}}$

Proprietăți de simetrizare și antisimetrizare

Dacă este simetrică, atunci simetrizarea față de acești indici coincide cu și antisimetrizarea dă un tensor zero. În mod similar, în cazul antisimetriei în unii indici: antisimetrizarea va coincide cu , iar simetrizarea va da un tensor zero. $T_{i_1\ldots i_n}$ $i_1\ldots i_n,$ $T,$ $T$ $T$
Dacă atunci Aici este un simetric , și este produsul exterior al spațiilor vectoriale. $T_{ij} \in V\otimes V,$ $T_{(ij)} \in V \vee V,$ $T_{[ij]} \in V \wedge V.$ $\vee$ $\pană$