Sistemul rădăcină

Un sistem rădăcină ( sistemul rădăcină ) în matematică este o configurație de vectori în spațiul euclidian care satisface anumite proprietăți geometrice.

Acest concept este fundamental în teoria grupurilor de Lie și algebrelor Lie . Diagramele Coxeter-Dynkin , utilizate în clasificarea sistemelor rădăcină, se găsesc în domenii ale matematicii care nu sunt legate în mod explicit de grupurile Lie, de exemplu, în teoria singularității .

Definiție

Fie un spațiu euclidian de dimensiuni finite cu produsul scalar obișnuit notat cu . Sistemul rădăcină din este un set finit de vectori non- nuli (numiți rădăcini ) care satisfac următoarele proprietăți. $V$ $(\cdot ,\;\cdot )$ $V$ $\Phi$

$V$ este intervalul liniar al sistemului radicular.
Dacă două rădăcini , sunt vectori coliniari , atunci fie sunt la fel, fie $\alpha \in \Phi$ $\beta \în \Phi$ $\beta =-\alpha .$
Pentru fiecare rădăcină , mulțimea este închisă în raport cu reflexia în hiperplan perpendicular pe . Adică pentru oricare două rădăcini și mulțimea conține reflexia $\alpha \in \Phi$ $\Phi$ $\alfa.$ $\alfa$ $\beta$ $\Phi$ $\beta$ $\sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )))\alpha \in \Phi .$
( Toată starea ). Dacă și sunt rădăcini în , atunci proiecția pe linia care trece prin este o jumătate întreg, multiplu Adică $\alfa$ $\beta$ $\phi ,$ $\beta$ $\alpha ,$ $\alfa.$ $\langle \beta ,\;\alpha \rangle =2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )))\in \mathbb {Z} .$

Note

Având în vedere proprietatea 3, condiția integrală este echivalentă cu afirmația că diferența dintre și reflectarea sa este egală cu rădăcina înmulțită cu un număr întreg . $\beta$ $\sigma _{\alpha }(\beta )$ $\alfa$
Operator $\langle \cdot ,\;\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z}$ ,

definit de proprietatea 4 nu este un produs interior. În general, nu este simetric și este liniar doar în primul argument.

Dimensiunea se numește rangul sistemului radicular. $V$

Clasificarea sistemelor radiculare după schemele lui Dynkin

Exemple de sisteme rădăcină de rangul 1 și rangul 2

Există un singur sistem rădăcină de rang 1. Acesta este format din doi vectori non-zero . Acest sistem se numește $\{\alpha ,\;-\alpha \}.$ $A_{1}.$

În rangul 2, există patru opțiuni posibile unde $\sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha ,$ $n=0,\;1,\;2,\;3.$

Sistem rădăcină de rangul 2


Sistemul rădăcină $A_{1}\ori A_{1}$	Sistemul rădăcină $A_{2}$

Sistemul rădăcină $B_{2}$	Sistemul rădăcină $G_{2}$

Vezi și

E8 (matematică)

Link -uri

Dynkin E. B. The structure of semisimple Lie algebras // Uspekhi matematicheskikh nauk . - 1947. - T. 2 , nr. 4 (20) . — p. 59–127 .
Dynkin E. B. Clasificarea grupurilor simple de Lie // Culegere matematică . - 1946. - T. 18 (60) , Nr. 3 . — S. 347–352 .
Humphreys J. Introducere în teoria algebrelor Lie și reprezentările lor / Perev. din engleza. B. R. Frenkin. — M.: MTsNMO , 2008. — 216 p.
Vinberg E. B., Onishchik A. L. Seminar privind grupurile Lie și grupurile algebrice - Moscova: URSS, 1995. - 344 p.
Humphrey J. Grupuri algebrice liniare / Per. din engleză / Ed. V. P. Platonov. — M.: Nauka, 1980. — 400 p.
Bourbaki N. Grupuri și algebre Lie (partea 2) / Per. din franceză / Ed. A. I. Kostrikin. — M.: Mir, 1972. — 332 p.