Rata de convergență

Rata de convergenţă este principala caracteristică a metodelor numerice de rezolvare a ecuaţiilor şi optimizare .

Conceptul de rată de convergență

Fie o succesiune convergentă de aproximări ale unui algoritm pentru găsirea rădăcinii ecuației sau a extremului funcției , atunci: $\stanga\{x_{n}\dreapta\}$ $x^{*}$

Se spune că o metodă are convergență liniară dacă . $\exists \alpha \in (0,\;1):\quad \exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq N\quad ||x_{n}-x^{ *}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||$

Se spune că o metodă are grad de convergență $\beta$ dacă . $\exists \alpha \in (0,\;1]:\quad \exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq N\quad ||x_{n}-x^{ *}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||^{\beta }$

Rețineți că rata de convergență a metodelor nu depășește de obicei pătratica. În cazuri rare, metoda poate avea o rată de convergență cubică ( metoda Chebyshev ).

Definiție practică

Fie o succesiune de aproximări ale algoritmului considerat pentru găsirea rădăcinii unei ecuații, apoi rata de convergență este determinată din ecuație: $\stanga\{x_{n}\dreapta\}$ $x^{*}$ $\beta$

${\displaystyle ||x_{n}-x^{*}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||^{\beta ))$

Pentru simplitate, este rescris astfel:

$\log ||x_{n}-x^{*}||<\log \alpha +\beta \log ||x_{n-1}-x^{*}||$

Rata de convergență este estimată direct din tangenta pantei diagramei logaritmice a dependenței de . $||x_{n}-x^{*}||$ $||x_{n-1}-x^{*}||$

Literatură pe această temă

Amosov A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N. V. Metode de calcul pentru ingineri. — M .: Mir, 1998.
Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P. , Kobelkov G. G. Metode numerice. - Ed. a VIII-a - M. : Laboratorul de Cunoștințe de bază, 2000.
Volkov E. A. Metode numerice. — M. : Fizmatlit, 2003.