Slater determinant

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 18 aprilie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Determinantul Slater sau determinantul Slater este o funcție de undă a unui sistem mecanic cuantic cu mai multe particule, care este antisimetric în raport cu permutarea particulelor și este construit din funcții cu o singură particule.

Determinantul Slater oferă o modalitate simplă de a construi funcția antisimetrică necesară pentru a descrie sisteme formate din mulți fermioni . Pentru a face acest lucru, utilizați proprietatea determinantului pentru a schimba semnul atunci când rearanjați coloanele.

Cazuri

Caz cu două particule

Cel mai simplu mod de a aproxima o funcție de undă cu mai multe particule este de a lua produsul funcțiilor de undă bine alese cu o singură particule. Pentru cazul a două particule, obținem

\Psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2})=\psi _{1}({\mathbf {r}}_{1})\psi _ {2}({\mathbf {r}}_{2}).

Această expresie este folosită în metoda Hartree ca un ansatz pentru funcția de undă cu mai multe particule și este cunoscută ca produsul Hartree, deși nu este satisfăcătoare pentru fermioni, de exemplu, pentru electroni, deoarece o astfel de funcție de undă nu este antisimetrică, adică egalitatea

\Psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2})=-\Psi ({\mathbf {r}}_{2},{\mathbf {r} }_{unu}).

Din acest motiv, produsul Hartree nu satisface principiul de indistinguire a particulelor. Această problemă poate fi rezolvată luând o combinație liniară a ambelor produse Hartree:

\Psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2})={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\{\psi _{ 1}({\mathbf {r}}_{1})\psi _{2}({\mathbf {r}}_{2})-\psi _{1}({\mathbf {r}}_ {2})\psi _{2}({\mathbf {r}}_{1})\}

={\frac {1}{{\sqrt 2}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}({\mathbf {r}}_{1})&\psi _{2}({\ mathbf {r}}_{1})\\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{2})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{2} )\end{vmatrix}}

Aici multiplicatorul este factorul de normalizare. O astfel de funcție de undă este antisimetrică. Mai mult, devine zero dacă oricare două funcții de undă sunt aceleași. O consecință a acestui fapt este principiul excluderii Pauli . ${\frac {1}{{\sqrt {2))))$

Generalizare

Determinantul Slater pentru un sistem de particule identice este construit după cum urmează. Se ia un set de funcții de undă cu o particulă liniar independente . Funcția de undă antisimetrică va avea forma $N$ $N$ $\psi _{i}({\mathbf {r}})$

\psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2},\ldots ,{\mathbf {r}}_{i},\ldots ,{\mathbf {r } }}_{N})={\frac {1}{{\sqrt {N!}}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{1}({\mathbf {r}}_ { 1})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{1})&\ldots &\psi _{i}({\mathbf {r}}_{1})&\ldots & \psi _{N}({\mathbf {r}}_{1})\\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{2})&\psi _{2}({ \ mathbf {r}}_{2})&\ldots &\psi _{i}({\mathbf {r}}_{2})&\ldots &\psi _{N}({\mathbf {r } }_{2})\\&&&\vdots \\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{i})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{ i })&\ldots &\psi _{i}({\mathbf {r}}_{i})&\ldots &\psi _{N}({\mathbf {r}}_{i})\ \ &&&\vdots \\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{N})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{N})&\ldots &\ psi _{i}({\mathbf {r}}_{N})&\ldots &\psi _{N}({\mathbf {r}}_{N})\end{matrice}}\right|

Astfel, este dată forma generală antisimetrică a funcției de undă. De obicei, funcțiile de undă cu o singură particule sunt fie necunoscute, fie au parametri necunoscuți, care sunt determinați prin rezolvarea ecuației Schrödinger , de exemplu, prin metoda variațională . O astfel de procedură este utilizată, în special, în metoda Hartree-Fock pentru calcule mecanice cuantice auto-consistente. $\psi _{i}({\mathbf {r}})$