Lista grupelor cristalografice

Grupuri cristalografice sau grupuri Fedorov - un set de grupuri de simetrie care descriu toate simetriile posibile ale unui număr infinit de puncte localizate periodic în spațiul tridimensional. Această clasificare a simetriilor a fost făcută independent și aproape simultan de matematicianul rus Fedorov și de matematicianul german Schoenflies . Informatiile obtinute joaca un rol important in cristalografie .

Legenda listei

Simbolul lui Herman este Mogen

Simbolul grupului de spațiu conține simbolul rețelei Bravais (litera mare P, A, B, C, I, R sau F) și simbolul grupului internațional de puncte. În acest caz, simbolurile axelor și planurilor de simetrie din simbol se pot schimba în simbolurile axelor elicoidale și ale planurilor de alunecare în conformitate cu prezența lor în acest spațiu cristalin particular. Simbolurile rețelei Bravais transmit tipul său de centrare:

P - primitiv;
I - centrat pe corp (nod suplimentar în centrul celulei);
F - centrat pe față (noduri suplimentare în centrele tuturor fețelor).
C, A sau B - centrat pe bază (un nod suplimentar în centrul feței C, A sau B). Rețelele de tipurile A și B se mai numesc și centrate lateral;
R - dublu centrat pe corp (două noduri suplimentare pe diagonala mare a celulei).

Clasele

Pentru a desemna clase cristalografice ( grupuri de puncte ), sunt acceptate următoarele denumiri (aici litera n înlocuiește un număr natural, iar litera m reprezintă litera m însăși ):

$n$ este axa de simetrie de ordinul al n -lea .
$\hambar}$ este axa de simetrie de inversare de ordinul al n -lea .
$m$ este planul de simetrie.
$nm$ sau - axa de simetrie de ordinul al n -lea și n planuri de simetrie care trec de-a lungul ei. $mm$
${\frac {n}{m))$ este axa de simetrie de ordinul n și planul de simetrie perpendicular pe aceasta.
$n2$ este o axă de simetrie de ordinul n și n axe de ordinul doi perpendiculare pe aceasta.
$n/mmm$ - axa de simetrie de ordinul al n -lea si plane paralele si perpendiculare pe aceasta.
${\bar {n}}m2$ sau ( n - par) - axa de simetrie de inversare de ordinul al n -lea, planele de simetrie care trec de-a lungul ei și axele de ordinul doi, perpendiculare pe aceasta. ${\bar {n}}2m$ ${\tfrac {n}{2))$ ${\tfrac {n}{2))$
${\bar {n}}m$ ( n - impar) - axa de simetrie de inversare de ordinul al n -lea, n planuri de simetrie care trec de-a lungul ei și n axe de ordinul doi, perpendiculare pe aceasta.

Simbolul lui Schoenflies

C n - grupuri ciclice - grupuri cu o singură direcție specială reprezentată de o axă de rotație de simetrie - sunt notate cu litera C , cu un indice n corespunzător ordinii acestei axe.

Cu ni - grupurile cu o singură axă de simetrie de inversare sunt însoțite de un indice i.
C nv (din germană vertikal - vertical) - are și un plan de simetrie situat de-a lungul axei unice sau principale de simetrie, care este întotdeauna considerat vertical.
C nh (din germană orizontală - orizontală) - are și un plan de simetrie perpendicular pe axa principală de simetrie.

S 2 , S 4 , S 6 (din germană spiegel - oglindă) - grupuri cu o singură axă de simetrie a oglinzii.

C s - pentru un plan de orientare nedefinită, adică nefixat din cauza absenței altor elemente de simetrie în grup.

D n - este un grup C n cu n axe suplimentare de simetrie de ordinul doi, perpendiculare pe axa inițială.

D nh - are și un plan orizontal de simetrie.
D nd (din germană diagonală - diagonală) - are și planuri diagonale verticale de simetrie care merg între axele de simetrie de ordinul doi.

O, T - grupuri de simetrie cu mai multe axe de ordin superior - grupuri de singonie cubică. Ele sunt notate cu litera O dacă conțin setul complet de axe de simetrie ale octaedrului sau cu litera T dacă conțin setul complet de axe de simetrie ale tetraedrului.

O h și T h - conțin și un plan orizontal de simetrie
T d - conțin și un plan diagonal de simetrie

n poate fi 1, 2, 3, 4, 6.

Lista tuturor celor 230 de grupuri

Număr	Clasă	Numărul de grupuri	Simbol al lui Herman-Mogen	Simbolul Schoenflies	Imagine
sistemul triclinic
unu	$unu$	unu	$P1$	$C_{1}$
2	${\bara {1}}$	unu	$P{\bara {1}}$	$C_{i}$
Sistem monoclinic
3-5	$2$	3	$P2$ $P2_{1}$ $C2$	$C_{2}$	În exterior, o persoană are simetrie. $C_{s)$
6-9	$m$	patru	$Pm$ $PC$ $cm$ $Cc$	$C_{s)$
10-15	$2/m$	6	$P2/m$ $P2_{1}/m$ $C2/m$ $P2/c$ $P2_{1}/c$ $C2/c$	$C_{2h)$
Sistem rombic
16-24	$222$	9	$P222$ ${\displaystyle P222_{1))$ $P2_{1}2_{1}2$ $P2_{1}2_{1}2_{1}$ $C222_{1}$ $C222$ $F222$ $I222$ $I2_{1}2_{1}2_{1}$	$D_{2}$	Șinele sunt simetrice. $C_{{2v}}$
25 - 46	$mm2$	22	$Pmm2$ ${\displaystyle Pmc2_{1))$ $Pcc2$ $Pma2$ $Pca2_{1)$ $Pnc2$ ${\displaystyle Pmn2_{1))$ $Pba2$ $Pna2_{1}$ $Pnn2$ $Cmm2$ ${\displaystyle Cmc2_{1))$ $Ccc2$ $Amm2$ $Aem2$ $Ama2$ $Aea2$ $Fmm2$ $Fdd2$ $Imm2$ $Iba2$ $Ima2$	$C_{{2v}}$
47-74	$hmmm$	28	$Pmmm$ $Pnnn$ $PCCM$ $Pban$ $Pma$ $Pnna$ $Pmna$ $Pcca$ $Pbam$ $Pccn$ $Pbcm$ $Pnnm$ $Pmmn$ $Pbcn$ $Pbca$ $pnma$ $cmcm$ $cmce$ $Cmmm$ $Cccm$ $cmme$ $Ccce$ $Fmmm$ $Fddd$ $Immm$ $Ibam$ $Ibca$ $Imma$	$D_{2h)$
Sistem tetragonal
75-80	$patru$	6	$P4$ $P4_{1)$ $P4_{2)$ $P4_{3)$ $I4$ $I4_{1)$	$C_{4}$	$C_{4}$ Simetrie.
81-82	${\bara {4}}$	2	$P{\bar {4)}$ $I{\bar {4)}$	$S_{4}$
83-88	$4/m$	6	$P4/m$ $P4_{2}/m$ $P4/n$ $P4_{2}/n$ $I4/m$ $I4_{1}/a$	$C_{4h)$
89-98	$422$	zece	$P422$ $P42_{1}2$ $P4_{1}22$ $P4_{1}2_{1}2$ $P4_{2}22$ $P4_{2}2_{1}2$ $P4_{3}22$ $P4_{3}2_{1}2$ $I422$ $I4_{1}22$	$D_{4)$
99-110	$4mm$	12	$P4mm$ $P4bm$ $P4_{2}cm$ $P4_{2}nm$ $P4cc$ $P4nc$ $P4_{2}mc$ $P4_{2}bc$ $I4mm$ $I4cm$ $I4_{1}md$ $I4_{1}cd$	$C_{4v)$
111-122	${\bar {4}}2m$	12	$P{\bar {4}}2m$ $P{\bar {4}}2c$ $P{\bar {4}}2_{1}m$ $P{\bar {4}}2_{1}c$ $P{\bar {4}}m2$ $P{\bar {4}}c2$ $P{\bar {4}}b2$ $P{\bar {4}}n2$ $I{\bar {4}}m2$ $I{\bar {4}}c2$ $I{\bar {4}}2m$ $I{\bar {4}}2d$	$D_{2d)$
123-142	$4/mmm$	douăzeci	$P4/mmm$ $P4/mcc$ $P4/nbm$ $P4/nnc$ $P4/mbm$ $P4/mnc$ $P4/nmm$ $P4/ncc$ $P4_{2}/mmc$ $P4_{2}/mcm$ $P4_{2}/nbc$ $P4_{2}/nnm$ $P4_{2}/mbc$ $P4_{2}/mnm$ $P4_{2}/nmc$ $P4_{2}/ncm$ $I4/mmm$ $I4/mcm$ $I4_{1}/amd$ $I4_{1}/acd$	$D_{4h)$	Rețeaua cristalină de zircon are simetrie. $I4_{1}/amd$
Sistem trigonal
143-146	$3$	patru	$P3$ $P3_{1}$ $P3_{2}$ $R3$	$C_{{3}}$	Molecula de borazane are simetrie. $C_{3v)$
147-148	${\bara {3}}$	2	$P{\bar {3)}$ $R{\bar {3)}$	$C_{3i)$
149-155	$32$	7	$P312$ $P321$ $P3_{1}12$ $P3_{1}21$ $P3_{2}12$ $P3_{2}21$ $R32$	$D_{3)$
156-161	$3m$	6	$P3m1$ $P31m$ $P3c1$ $P31c$ $R3m$ $R3c$	$C_{3v)$
162-167	${\bar {3}}m$	6	$P{\bar {3}}1m$ $P{\bar {3}}1c$ $P{\bar {3}}m1$ $P{\bar {3}}c1$ $R{\bar {3}}m$ $R{\bar {3}}c$	$D_{3d)$
Sistem hexagonal
168-173	$6$	6	$P6$ $P6_{1}$ $P6_{5}$ $P6_{2}$ $P6_{4}$ $P6_{3}$	$C_{6}$	Fagurii sunt simetrici. $C_{{6h}}$
174	${\bara {6}}$	unu	$P{\bar {6}}$	$C_{3h)$
175-176	$6/m$	2	$P6/m$ $P6_{3}/m$	$C_{{6h}}$
177-182	$622$	6	$P622$ $P6_{1}22$ $P6_{5}22$ $P6_{2}22$ $P6_{4}22$ $P6_{3}22$	$D_{6}$	Un nanotub poate avea simetrie. $D_{6h)$
183-186	$6 mm$	patru	$P6mm$ $P6cc$ $P6_{3}cm$ $P6_{3}mc$	$C_{6v}$
187-190	${\bar {6}}m2$	patru	$P{\bar {6}}m2$ $P{\bar {6}}c2$ $P{\bar {6}}2m$ $P{\bar {6}}2c$	$D_{3h)$
191-194	$6/mmm$	patru	$P6/mmm$ $P6/mcc$ $P6_{3}/mcm$ $P6_{3}/mmc$	$D_{6h)$
Sistem cubic
195-199	$23$	5	$P23$ $F23$ $I23$ $P2_{1}3$ $I2_{1}3$	$T$	Structura unui diamant este simetrică. $Fd{\bar {3}}m$
200-206	$m{\bar {3)}$	7	$Pm{\bar {3)}$ $Pn{\bar {3}}$ $Fm{\bar {3)}$ $Fd{\bar {3)}$ $Im{\bar {3}}$ $Pa{\bar {3)}$ $Ia{\bar {3)}$	$T_{h}$
207-214	$432$	opt	$P432$ $P4_{2}32$ $F432$ $F4_{1}32$ $I432$ $P4_{3}32$ $P4_{1}32$ $I4_{1}32$	$O$
215-220	${\bar {4}}3m$	6	$P{\bar {4}}3m$ $F{\bar {4}}3m$ $I{\bar {4}}3m$ $P{\bar {4}}3n$ $F{\bar {4}}3c$ $I{\bar {4}}3d$	$T_{d)$
221-230	$m{\bar {3}}m$	zece	$Pm{\bar {3}}m$ $Pn{\bar {3}}n$ $Pm{\bar {3}}n$ $Pn{\bar {3}}m$ $Fm{\bar {3}}m$ $Fm{\bar {3}}c$ $Fd{\bar {3}}m$ $Fd{\bar {3}}c$ $Im{\bar {3}}m$ $Ia{\bar {3}}d$	$O_{h}$

În alte dimensiuni

Structurile periodice din spațiul unidimensional au doar două tipuri de simetrie. Ele pot fi ilustrate cu secvențe de caractere:

... *- *- *- *- *- *- *- ... ... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| ..

Prima secvență infinită este simetrică numai în raport cu translația (prin trei simboluri), a doua secvență este și ea simetrică în raport cu reflectarea.

În spațiul bidimensional, există 17 tipuri de simetrie a structurilor periodice.

Numărul de grupuri de simetrie ale unui spațiu arbitrar n-dimensional este descris de secvența A006227 .

Clasificarea ulterioară

Grupurile pot fi împărțite în simorfice și nesimmorfice. Simetriile simorfice sunt cele care pot fi formate prin rotație în jurul axelor, precum și prin reflexia din planuri care trec toate printr-un punct. Grupurile spațiale simorfice conțin, ca subgrupe, grupuri de simetrie punctuală corespunzătoare clasei căreia îi aparține grupul spațial dat.

Toate cele 230 de grupuri pot fi împărțite în 32 de clase. Fiecare clasă are o simetrie care lasă fix cel puțin un punct de spațiu. Numărul de elemente din clase variază de la 1 la 28.

Clasele pot fi împărțite în sisteme ( singonii ). Sunt 7 singonii. Fiecare singonie are cel puțin un grup limită .

Vezi și

Literatură

Tabele internaționale pentru cristalografie. Volumul A: Simetrie spațială-grup / Editat de MI Aroyo. - Uniunea Internațională de Cristalografie, 2016. - ISBN 978-0-470-97423-0 .