Grade de libertate (teoria probabilității)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 octombrie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Numărul de grade de libertate este numărul de valori din calculul statistic final care poate varia. Cu alte cuvinte, numărul de grade de libertate arată dimensiunea vectorului de variabile aleatoare, numărul de variabile „libere” necesare pentru a defini complet vectorul.

Numărul de grade de libertate poate fi nu numai un număr natural , ci și orice număr real , deși tabelele standard calculează valoarea p a celor mai comune distribuții numai pentru un număr natural de grade de libertate.

Grade de libertate a distribuțiilor

Chi-pătrat

Dacă variabilele aleatoare sunt independente și toate au o distribuție normală standard ( ), atunci variabila aleatoare , care este suma pătratelor variabilelor normale standard în numărul de piese, se spune că are o distribuție chi-pătrat cu grade de libertate ( ): $Z_{1};\ldots ;Z_{n}$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0;1)$ $X$ $n$ $n$ $\chi _{n}^{2}$

$X=\sum \limits _{{i=1}}^{n}Z_{i}^{2}\sim \chi _{n}^{2}$

Distribuția t a studentului

Dacă o variabilă aleatoare are o distribuție normală standard ( ), o variabilă aleatoare are o distribuție chi-pătrat cu grade de libertate ( ) și și sunt independente ( corelația lor este zero), atunci o variabilă aleatoare are o distribuție Student cu grade de libertate ( ): $Z$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0;1)$ $X$ $n$ $\chi _{n}^{2}$ $Z$ $X$ $T={\frac {Z}{{\sqrt {{\frac {X}{n}}}}}}$ $n$ $t_{n}$

$T={\frac {{\mathcal {N}}(0;1)}{{\sqrt {{\frac {\chi _{n}^{2}}{n}}}}}}\sim t_ {n}$

Distribuție Fisher-Snedecor

Dacă o variabilă aleatoare are o distribuție chi-pătrat cu grade de libertate, iar o variabilă aleatoare are o distribuție chi-pătrat cu grade de libertate, atunci variabila aleatoare are o distribuție Fisher-Snedekor cu și grade de libertate ( ): $X_{1}$ $n$ $X_{2}$ $m$ $F={\frac {X_{1}/n}{X_{2}/m}}$ $n$ $m$ $t_{n}$

$F={\frac {\chi _{n}^{2}/n}{\chi _{m}^{2}/m))\sim {\mathrm {F))_{{n;m} }$

Dacă , atunci . $m\rightarrow\infty$ $F_{{n;m}}={\frac {\chi _{n}^{2}/n}{\chi _{m}^{2}/m}}\rightarrow \chi _{n}^ {2}$
Dacă pătratăm o variabilă aleatorie care are o distribuție Student cu grade de libertate, atunci va avea o distribuție Fisher-Snedekor cu și grade de libertate: $m$ $unu$ $m$

$(t_{m})^{2}=\left({\frac {{\mathcal {N))(0;1)}{{\sqrt ({\frac {\chi _{m}^{2} }{m))))))\right)^{2}={\frac ({\bigl (}{\mathcal {N))(0;1){\bigr )}^{2)){\ stânga({\sqrt {{\frac {\chi _{m}^{2}}{m))))\right)^{2}}}={\frac {\chi _{1}^{2 }}{\chi _{m}^{2}/m}}={\frac {\chi _{1}^{2}/1}{\chi _{m}^{2}/m}} \sim {\mathrm {F}}_{{1;m}}$

Teoria probabilității

Fie o variabilă aleatoare unidimensională . Atunci următoarele afirmații despre numărul de grade de libertate vor fi adevărate : $X_{i}$

O variabilă aleatoare este distribuită conform legii cu grade de libertate (în acest caz, adesea prin intermediul varianței eșantionului ). $S^{2}={\frac {\sum \limits _{i}(X_{i}-{\bar X})^{2}}{n-1}}$ $\chi ^{2}$ $(n-1)$ $S^{2}$ ${\hat \sigma }^{2}$
Pe baza notației de mai sus, se poate argumenta că variabila aleatoare are o distribuție Student cu grade de libertate ( ) . ${\frac {X-{\bar X}}{{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}}}}}$ $n-1$ $t_{n-1)$
Variabila aleatoare este distribuită conform legii cu grade de libertate. ${\frac {X-{\mathbb {E}}(X)}{{\sqrt {{\frac {{\hat \sigma }^{2}}{n}}}}}}$ $\chi ^{2}$ $n$
Variabila aleatoare este distribuită conform legii normale standard ( ), unde este varianța adevărată a variabilei aleatoare . ${\frac {X-{\mathbb {E}}(X)}{{\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}}}}}$ ${\mathcal {N}}(0;1)$ $\sigma _{X}^{2}$ $X$

Înlocuirea unei variabile aleatoare cu adevărata ei așteptare matematică oferă o creștere cu un grad de libertate din următorul motiv. Luați în considerare o variabilă aleatoare . În continuare, . Prin urmare, există bucăți de variabile aleatoare dependente. Prin urmare, bucățile de mărime sunt independente, prin urmare, în formula cu în numărător, există un grad de libertate mai mic decât în formula cu adevărată așteptare matematică. ${\bar X}(X_{1};\ldots ;X_{n})$ $\xi _{k}=X_{k}-{\bar X}$ $\sum \limits _{{i=1}}^{n}\xi _{i}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}(X_{i}-{\bar X} )=\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}-\sum \limits _{{i=1}}^{n}{\bar X}=n{\bar X }-n{\bar X}=0$ $n$ $n-1$ $\bara X$

Analiza de regresie

În analiza de regresie , folosind metoda celor mai mici pătrate , observațiile sunt comparate cu valorile calculate (obținute din ecuația de regresie). Dacă este media aritmetică a tuturor observațiilor, atunci, în conformitate cu teorema lui Pitagora multivariată, egalitatea are loc: $Y_{i}$ ${\hat Y}_{i}$ ${\bara Y}$

$\underbrace {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\bar Y})^{2}}_{{TSS}}=\underbrace {\sum \limits _{i}({\hat Y}_{i}-{\bar Y})^{2}}_{{ESS}}+\underbrace {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\hat Y})^{ 2}}_{{RSS}}$

În același timp (Suma totală a pătratelor) este distribuită ca cu gradele de libertate, (Suma estimată a pătratelor; a nu se confunda cu Eroare!) este distribuită ca și cu un grad de libertate, (Suma reziduală a pătratelor; a nu fi confundat cu Regresia!) este distribuit ca cu grade de libertate . $TSS$ $\chi ^{2}$ $(n-1)$ $ESS$ $\chi ^{2}$ $RSS$ $\chi ^{2}$ $(n-2)$