Poliedru sferic

Un poliedru sferic sau placarea sferică  este acea placare pe o sferă în care suprafața este împărțită de arce mari în regiuni mărginite numite poligoane sferice. O mare parte din teoria poliedrelor simetrice folosește poliedre sferice.

Cel mai faimos exemplu de poliedru sferic este o minge de fotbal , care poate fi înțeleasă ca un icosaedru trunchiat .

Unele poliedre „improprii”, cum ar fi osoedre și diedrele lor duale , există doar ca poliedre sferice și nu au omoloage cu fețe plate. În tabelul cu exemple de mai jos, {2, 6} este un osoedru, iar {6, 2} este diedrul său dual.

Istorie

Primele poliedre artificiale cunoscute sunt poliedre sferice sculptate în piatră. Multe dintre acestea au fost găsite în Scoția și datează din perioada neolitică .

În timpul „ Evului Întunecat ” european , savantul islamic Abul-Wafa al-Buzjani a scris prima lucrare serioasă despre poliedre sferice.

În urmă cu două sute de ani, la începutul secolului al XIX-lea, Poinsot a folosit poliedre sferice pentru a descoperi patru poliedre stele regulate .

La mijlocul secolului al XX-lea, Coxeter le-a folosit pentru a enumera toate (cu excepția uneia) poliedre uniforme , prin intermediul unei construcții caleidoscopice ( Withoff construction ).

Exemple

Toate poliedrele regulate , semiregulate și dualele lor pot fi proiectate pe sferă ca o placă. Tabelul de mai jos prezintă simbolurile Schläfli {p, q} și schema figurii vârfului abc...:

Simbolul Schläfli {p, q} t{p, q} r{p, q} t{q, p} {q, p} rr{p, q} tr{p, q} sr{p, q}
Figura de vârf p q q.2p.2p pqpq p. 2q.2q qp _ q.4.p. patru 4,2q.2p 3.3.q.3.p
Tetraedric
(3 3 2)
3 3
3.6.6
3.3.3.3
3.6.6
3 3
3.4.3.4
4.6.6
3.3.3.3.3

V3.6.6
V3.3.3.3
V3.6.6
V3.4.4.4
V4.6.6
V3.3.3.3.3
Octaedral
(4 3 2)
4 3
3.8.8
3.4.3.4
4.6.6
3 4
3.4.4.4
4.6.8
3.3.3.3.4

V3.8.8
V3.4.3.4
V4.6.6
V3.4.4.4
V4.6.8
V3.3.3.3.4
Icosaedric
(5 3 2)
5 3
3.10.10
3.5.3.5
5.6.6
3 5
3.4.5.4
4.6.10
3.3.3.3.5

V3.10.10
V3.5.3.5
V5.6.6
V3.4.5.4
V4.6.10
V3.3.3.3.5
Exemple diedrice
=6
(2 2 6)
6 2
2.12.12
2.6.2.6
6.4.4
26 _
4.6.4
4.4.12
3.3.3.6
Clasă 2 3 patru 5 6 7 opt zece
Prismă
(2 2 p)
Bipiramidă
(2 2 p)
antiprismă
trapezoedru

Cazuri neregulate

Tilingurile sferice permit cazuri care sunt imposibile pentru poliedre, și anume osoedre , figuri regulate {2,n}, și diedre , figuri regulate {n,2}.

Familie de viespi obișnuite
Imagine
Schläfli {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8}…
coxeter CDel nodul 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel8.pngCDel node.png
Fețe și
margini 		2 3 patru 5 6 7 opt
Vârfurile 2
Diedre regulate: (placuri sferice)
Imagine
Schläfli {2,2} {3,2} {4,2} {5,2} {6,2}…
coxeter CDel nodul 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png
Fațete 2 {2} 2 {3} 2 {4} 2 {5} 2 {6}
Muchii și
vârfuri 		2 3 patru 5 6

Legătura cu plăci în plan proiectiv

Deoarece sfera este o acoperire cu două foi a planului proiectiv, politopii proiectivi corespund acoperirii duble de către politopi sferici care au simetrie centrală .

Cele mai faimoase exemple de poliedre proiective sunt poliedre proiective regulate formate din poliedre regulate simetrice central , precum și din familii infinite de diedre pare și osoedre : [1]

Vezi și

Note

  1. ↑ Coxeter, 1966 , p. 547-552 §3 Cărți corecte.

Literatură