Schema de ridicare

Lifting Scheme este o tehnică atât pentru proiectarea wavelet , cât și pentru transformările wavelet discrete . Ceea ce este cu adevărat necesar este să combinați acești pași și să proiectați wavelet-urile în paralel cu transformarea wavelet. Aceasta se numește transformată wavelet de a doua generație . Această tehnologie a fost propusă pentru prima dată de Wim Sweldens . În transformarea wavelet discretă, mai multe filtre sunt aplicate unui semnal. În circuitul de ridicare, semnalul este împărțit ca un fermoar. După aceea, se efectuează o serie de operații de convoluție stivuite pe semnal .

Idee generală

Să fie un semnal . Poate fi împărțit în semnale și unele filtre cu decimarea probelor de două ori. În cazul general, semnalele și sunt în mare măsură corelate între ele, deci nu are sens să transmiteți ambele semnale, puteți transmite unul dintre semnale ( ) și predicția celui de-al doilea semnal realizată pe baza acestuia folosind un filtru . Astfel, corelația spațială este eliminată într-o oarecare măsură. Cu toate acestea, există probleme în domeniul frecvenței, deoarece semnalul este obținut prin simpla decimare a eșantionului. Media curentă a semnalelor și nu se potrivește. Pentru a elimina acest lucru, este introdus un al doilea filtru care actualizează semnalul corespunzător pe baza ( ). $f$ $L1$ $Y1$ $s$ $L1$ $Y1$ $L1$ $P$ $Y2=Y1-P(L1)$ $L1$ $L1$ $f$ $U$ $L1$ $Y2$ $L2=L1+U(Y2)$

Exemplu

Să luăm un semnal de la elemente . Ca filtru, luăm o împărțire simplă în eșantioane pare și impare: $f$ $x_{i}$

$L1_{i}=x_{2i)$ ;

$Y1_{i}=x_{2i+1}$ .

Predicția semnalului poate fi, de exemplu, media statistică a elementelor învecinate $Y1$ $L1$

$P(i)={(L1_{i}+L1_{i+1}) \over 2}$ ;

$Y2_{i}=Y1_{i}-{(L1_{i}+L1_{i+1}) \over 2}$ .

Pentru a rafina semnalul , adăugați jumătate din media valorilor anterioare și următoare . În acest caz, va fi mai în concordanță cu semnalul decât . $L1$ $Y2$ $L2$ $f$ $L1$

$U(i)={(Y2_{i-1}+Y2_{i}) \over 4}$ .

Respectiv,

$L2_{i}=L1_{i}+{(Y2_{i-1}+Y2_{i}) \over 4}$ .

Cunoscând atât din cât și , este posibil să se restaureze . $L2$ $Y2$ $U$ $P$ $S^{{-1}}$ $f$

Bazele

Ideea principală a ridicării este următoarea: dacă o pereche de filtre sunt suplimentare , atunci pentru orice filtru , perechea , unde , oferă și posibilitatea recuperării complete a semnalului. Desigur, acest lucru este valabil și pentru fiecare pereche , unde . Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă filtrul se setează și vă permite să restabiliți complet semnalul, atunci există un astfel de filtru unic pentru care . Fiecare astfel de transformare a bancului de filtre (sau operația corespunzătoare de transformare a waveletului) se numește pas de ridicare. Secvența pașilor de ridicare constă în ridicări alternante, adică după fixarea filtrului trece-jos și schimbarea filtrului trece-înalt, pasul următor fixează filtrul trece-înalt și schimbă filtrul trece-jos. Pașii succesivi în aceeași direcție pot fi combinați. $(h,g)$ $s$ $(h',g)$ $h'(z)=h(z)+s(z^{2})\cdot g(z)$ $(h,g')$ $g'(z)=g(z)+t(z^{2})\cdot h(z)$ $(h,g)$ $(h',g)$ $s$ $h'(z)=h(z)+s(z^{2})\cdot g(z)$

Proprietăți

Recuperare fără pierderi.
- Fiecare transformare a schemei de ridicare poate fi inversată.
- Fiecare set de filtre complet reconstructive poate fi împărțit în pași de ridicare folosind algoritmul euclidian .
- Aceasta înseamnă că „banc de filtre de ridicare divizabil” și „banc de filtre de ridicare complet inversat” sunt același lucru.
Orice două bancuri de filtre complet reconstructive pot fi transformate de la unul la altul printr-un set de pași de ridicare (dacă și sunt matrici polifazate cu același discriminant, atunci secvența de ridicare de la până la este aceeași ca de la o matrice polifazată „leneșă” la . ) $P$ $Q$ $P$ $Q$ $eu$ $P^{-1}\cdot Q$
Accelerează de două ori. Acest lucru este posibil doar pentru că ridicarea se poate face numai cu seturi de filtre complet restauratoare. Adică, se poate spune că ridicarea selectează redundanța cauzată de posibilitatea recuperării complete.
La fața locului: conversia poate fi efectuată imediat în memoria datelor de intrare, utilizând numai aceasta și memoria numai pentru citire.
Neliniaritate: Operațiile de convoluție pot fi înlocuite cu oricare altele. Pentru o recuperare completă este necesar doar ca operațiunile să fie reversibile. În acest fel, erorile de rotunjire pot fi reprezentate în convoluție, ceea ce face posibilă recuperarea cu precizie a biților. În ciuda acestui fapt, neliniaritățile pot duce la o scădere a stabilității numerice. Acest lucru ar trebui să fie luat în considerare dacă semnalul convertit este procesat ca în compresia cu pierderi.

Deși fiecare banc de filtre reconstruit poate fi reprezentat printr-un set de trepte de ridicare, descrierea generală a etapelor de ridicare nu este evidentă din descrierea familiei de wavelet. Totuși, de exemplu, pentru cazurile simple ale undelei Cohen-Daubechi-Fovo , există o formulă exactă pentru pașii de ridicare. (vezi articolul conex)

Ridicare generalizată

Schema generalizată de ridicare este un derivat al schemei de ridicare. În această schemă, operațiile de adunare și scădere sunt convertite în pași de actualizare și, respectiv, de predicție. Acești pași pot fi orice mapare (reversibilă), ceea ce face circuitul mai general.

Aplicație

Transformarea wavelet cu numere întregi: WAILI
Transformată Fourier exactă pe biți: Soontorn Oraintara, Ying-Jui Chen, Truong Q. Nguyen: Transformată Fourier rapidă întregă
Proiectarea wavelets cu un anumit grad de filtru și număr de momente de dispariție
Design Wavelet pentru un model dat: Henning Thielemann: Wavelet potrivite optim
Aplicarea Transformării Wavelet discrete la JPEG2000

Vezi și

Schema Feistel în criptologie folosește aproape aceeași idee de a partaja informații și de a alterna aplicarea funcțiilor cu adaos. Acesta este folosit pentru co-și decodificare simetrică atât în schemele Feistel, cât și în cele de ridicare.

Link- uri externe

O introducere cuprinzătoare la Transformarea Wavelet cu ridicare rapidă
Ingrid Daubechies, Wim Sweldens: Factoring Wavelet se transformă în trepte de ridicare
Etape de transformare wavelet de ridicare: [1]
Schema de ridicare: o construcție a Wavelets de a doua generație