Ecuații telegrafice

Ecuații telegrafice - o pereche de ecuații diferențiale liniare care descriu distribuția tensiunii și a curentului în timp și distanță în liniile electrice de comunicație. Ecuaţiile au fost întocmite de Oliver Heaviside , care a dezvoltat modelul liniei de comunicaţii electrice în anii 1880 .

Teoria lui Heaviside este aplicabilă liniilor de transmisie a curentului electric de toate frecvențele, inclusiv liniilor telegrafice, telefonice și de frecvență superioară, precum și liniilor electrice și liniilor de transmisie cu curent continuu.

Parametri distribuiți

Ecuațiile telegrafice, ca toate celelalte ecuații care descriu fenomene electrice, pot fi reduse la un caz special al ecuațiilor lui Maxwell . Din punct de vedere practic, se presupune că conductorii constau dintr-un lanț infinit de patru poli, fiecare dintre acestea fiind o secțiune infinit scurtă a liniei cu următorii parametri:

Rezistența conductorului este reprezentată ca o rezistență în serie (exprimată în ohmi pe unitate de lungime). $R$
Inductanța , care ia în considerare efectele auto-inducției și inducției reciproce din prezența unui câmp magnetic în jurul conductorilor purtători de curent, este reprezentată ca un inductor longitudinal ( Henry per unitate de lungime). $L$
Capacitatea dintre doi conductori este reprezentată ca un condensator transversal ( farad pe unitate de lungime). $C$
Conductivitatea unui material dielectric (izolație) care separă doi conductori este reprezentată ca o rezistență transversală ( Siemens per unitate de lungime). În model, acest rezistor are o rezistență ohm. $G$ $1/G$

Parametrii indicați în figură se referă la un conductor, dar reprezintă de fapt valoarea totală corespunzătoare pentru ambii conductori. Parametrii , , , distribuiți pe un lanț infinit de cvadripoli se numesc parametrii primari ai liniei . De asemenea, puteți utiliza notația , , , pentru a sublinia faptul că valorile sunt derivate față de coordonată. $R$ $L$ $R$ $L$ $C$ $G$ $R'$ $L'$ $C'$ $G'$

Ecuații

Linie fără pierderi

Când elementele și sunt mici, valoarea lor poate fi neglijată, în timp ce linia de comunicație electrică este considerată ideală. În acest caz, modelul depinde numai de elemente și , obținem o pereche de ecuații diferențiale parțiale de ordinul întâi, o funcție descrie distribuția tensiunii de -a lungul liniei, iar cealaltă descrie distribuția curentului , ambele funcții depind de coordonată și timp [1] [2] [3 ] [4] [5] [6] [7] : $R$ $G$ $L$ $C$ $U$ $eu$ $X$ $t$

{\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t),

{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t).

Aceste ecuații pot fi combinate pentru a da două ecuații de undă separate:

{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}U={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{ {\partial x}^{2))}U,

{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{ {\partial x}^{2))}I.

În cazul armonic (presupunând că unda este sinusoidală) , ecuațiile sunt simplificate la $E=E_{0}\cdot e^{-j\omega ({\frac {x}{c}}-t))$

{\frac {\partial ^{2}U(x)}{\partial x^{2)}}+\omega ^{2}LC\cdot U(x)=0,

{\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2)}}+\omega ^{2}LC\cdot I(x)=0,

unde este frecvența undei staționare. $\omega$

Dacă linia este infinit de lungă sau se termină într-o impedanță complexă caracteristică, ecuațiile arată prezența unei unde care se propagă cu viteza . $v=1/{\sqrt {LC}}$

Această viteză de propagare este aplicabilă fenomenelor ondulatorii și nu ia în considerare viteza de derive a electronilor . Cu alte cuvinte, impulsul electric se propagă cu o viteză foarte apropiată de viteza luminii, în ciuda faptului că electronii înșiși călătoresc cu doar câțiva centimetri pe secundă. Se poate arăta că această viteză într-o linie coaxială formată din conductori ideali separați prin vid este egală cu viteza luminii [8] [9] .

Linie cu pierderi

Când elementele și nu pot fi neglijate, ecuațiile diferențiale originale care descriu secțiunea elementară iau forma: $R$ $G$

{\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t ),

{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t)-GU(x,t ).

Diferențiând prima ecuație față de și a doua față de , după efectuarea unor transformări algebrice, obținem o pereche de ecuații diferențiale parțiale hiperbolice, fiecare dintre acestea conținând o necunoscută: $X$ $t$

{\frac {\partial ^{2}}({\partial x}^{2}}}U=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2} }}U+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}U+GRU,

{\frac {\partial ^{2}}({\partial x}^{2}}}I=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2} }}I+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI.

Dacă pierderea de linie este mică (mică și ), semnalul va scădea odată cu creșterea distanței ca , unde . $R$ $G=0$ $e^{-\alpha x)$ $\alpha =R/(2Z_{0})$

Aceste ecuații sunt similare cu ecuația de undă omogenă cu condiții suplimentare pentru și și primele lor derivate. Condiții suplimentare fac ca semnalul să se degradeze și să se împrăștie în timp și la distanță. $U$ $eu$

Direcția de propagare a semnalului

Ecuațiile de undă descrise mai sus iau în considerare faptul că propagarea undelor poate fi înainte și înapoi. Având în vedere simplificarea dreptei fără pierderi (presupunând și ), soluția poate fi reprezentată ca $R=0$ $G=0$

U(x,t)=f_{1}(\omega t-kx)+f_{2}(\omega t+kx),

Unde:

k=\omega {\sqrt {LC}}=\omega /v,

k

numit numărul de undă și se măsoară în radiani pe metru,

\omega

este frecvența unghiulară (în radiani pe secundă),

f_1

și poate fi orice funcție și

f_{2}

v=1/{\sqrt {LC}}

este viteza de propagare a undei (sau viteza de fază ).

$f_1$ reprezintă o undă care se deplasează în direcția axei pozitive (de la stânga la dreapta), reprezintă o undă care se deplasează de la dreapta la stânga. Se poate observa că valoarea instantanee a tensiunii în orice punct al liniei este suma tensiunilor cauzate de ambele unde. $X$ $f_{2}$ $X$

Deoarece relația dintre curent și tensiune este descrisă prin ecuații telegrafice, putem scrie: $eu$ $U$

I(x,t)={\frac {f_{1}(\omega t-kx)}{Z_{0))}-{\frac {f_{2}(\omega t+kx)} {Z_{0}}},

unde este impedanța undei a liniei de transmisie, care pentru o linie fără pierderi poate fi găsită ca $Z_0$

Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C)}}.

Rezolvarea ecuațiilor telegrafice

Soluția ecuațiilor telegrafice este, de exemplu, la p. 348 din exemplul 80 (plus soluția exemplului 79 de la pp. 347-348) din cartea [10] .

Vezi și

Note

↑ John D. Kraus. Electromagnetică _ _ - Al treilea. - New York, NY: McGraw-Hill Education , 1984. - P. 380-419. — ISBN 0070354235 .
↑ William H. Hayt. Electromagnetică de inginerie . - A cincea. - New York, NY: McGraw-Hill Education , 1989. - P. 382-392. — ISBN 0070274061 .
↑ Stanley V. Marshall. Concepte și aplicații electromagnetice . - Al doilea. - New York, NY: Prentice-Hall , 1987. - P. 359-378. — ISBN 0132490048 .
↑ Matthew NO Sadiku. Elemente de electromagnetică . — În primul rând. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing, 1989. - P. 497-505. — ISBN 993013846. Arhivat 6 martie 2016 la Wayback Machine
↑ Rodger F. Harrington. Câmpuri electromagnetice armonice timp . — În primul rând. - New York, NY: McGraw-Hill Education , 1961. - P. 61-65. — ISBN 0070267456 .
↑ John J. Karakash. Linii de transport și rețele de filtrare . — În primul rând. - New York, NY: Macmillan, 1950. - P. 5-14.
↑ Georges Metzger. Linii de transmisie cu excitare a impulsurilor . — În primul rând. - New York, NY: Academic Press , 1969. - P. 1-10.
↑ Matthew NO Sadiku. Elemente de electromagnetică . — În primul rând. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing, 1989. - P. 501-503. — ISBN 993013846. Arhivat 6 martie 2016 la Wayback Machine
↑ Stanley V. Marshall. Concepte și aplicații electromagnetice . - Al doilea. - New York, NY: Prentice-Hall , 1987. - P. 369-372. — ISBN 0132490048 .
↑ Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai universităților tehnice Copie arhivată din 23 martie 2017 la Wayback Machine , ediția a 13-a. M .: Nauka, 1986.