Teorema lui Bargman

Teorema lui Bargman este o afirmație despre proprietatea transformărilor de fază în mecanica cuantică non-relativista , care interzice descrierea suprapunerii funcțiilor de undă corespunzătoare particulelor cu mase diferite. A fost dovedit pentru prima dată de Valentin Bargman în 1954 [1] .

Formulare

În mecanica cuantică non-relatistă, este imposibil să descriem stări în care există un spectru de masă sau particule elementare instabile.

Dovada

Se consideră ecuația Schrödinger : . Luați în considerare transformarea galileană de forma: , , unde este o matrice ortogonală constantă care descrie rotația spațială, este un vector viteză constantă care descrie transformarea galileiană, este un vector de deplasare constantă a originii în spațiu, este o deplasare constantă a referinței de timp . Considerăm transformarea galileană ca rezultat al aplicării unui operator unitar , care transformă funcția de undă astfel: . Invarianța față de transformarea galileană înseamnă că aceasta trebuie să satisfacă aceeași ecuație Schrödinger ca : . Folosind proprietățile , , substituim în . Ca rezultat, obținem : Ultimul termen este egal cu zero dacă ecuația Schrödinger este satisfăcută, deoarece și sunt independente, deci urmează două condiții: , . Înlocuind prima condiție în a doua, obținem . Ca rezultat al integrării, obținem: , unde este constanta de integrare. Astfel, faza de transformare nu poate fi exclusă prin nicio alegere a constantei de integrare. Prin urmare, rezultă că nu există stări mecanice cuantice nerelativiste care să fie descrise prin suprapuneri liniare ale funcțiilor de undă corespunzătoare particulelor de mase diferite. În mecanica cuantică non-relatistă, este imposibil să descriem stări în care există un spectru de masă sau particule elementare instabile. [2] $i{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi =0$ $q\rightarrow q'=Rq+Vt+a$ $t\rightarrow t'=t+b$ $R$ $V$ $A$ $b$ $U$ $\Psi '(q,t)=e^{{dacă}}\Psi (q',t')$ $\psi'$ $\psi$ $i{\frac {\partial \Psi '}{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi '=0$ ${\frac {\partial }{\partial t))={\frac {\partial }{\partial t'))+V\nabla '$ $\nabla =R\nabla '$ $\nabla ^{2}=\nabla '^{2}$ $\Psi '(q,t)=e^{{dacă}}\Psi (q',t')$ $i{\frac {\partial \Psi '}{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi '=0$ $\left[-{\frac {\partial f}{\partial t'}}-V\nabla 'f+{\frac {1}{2m}}(\nabla 'f)^{{2}}-{\ frac {i}{2m}}\nabla '^{{2}}f\right]e^{{dacă}}\Psi +i\left(V-{\frac {1}{m}}\nabla ' f\right)e^{{if}}\nabla '\Psi +\left(i{\frac {\partial \Psi }{\partial t'}}-{\frac {1}{2m}}\nabla '^{{2}}\Psi \right)e^{{if}}=0$ $\psi$ $\nabla '\Psi$ $\nabla 'f=mV$ ${\frac {\partial f}{\partial t'}}=-V\nabla 'f+{\frac {1}{2m}}(\nabla 'f)^{{2}}-{\frac {i }{2m}}\nabla '^{{2}}f$ ${\frac {\partial f}{\partial t'}}=-{\frac {mV^{2}}{2}}$ $f(q',t')=mVq'-{\frac {1}{2}}mV^{2}t'+C$ $C$

Vezi și

grupul Schrödinger

Note

↑ Bargmann V., Ann. Matematică 59:1 (1954)
↑ Kaempfer, 1967 , p. 385.

Literatură

Kaempfer F. Fundamentele mecanicii cuantice. — M .: Mir, 1967. — 391 p.