Teorema Gelfond-Schneider

Teorema Gelfond-Schneider este o teoremă în teoria numerelor care stabilește transcendența unei clase mari de numere și, prin urmare, rezolvă (afirmativ) Problema a șaptea a lui Hilbert . A fost demonstrat independent în 1934 de matematicianul sovietic Alexander Gelfond [1] și de matematicianul german Theodor Schneider [2] .

Formulare

Dacă - numere algebrice , și nu zero și nu unul, ci iraționale , atunci orice valoare este un număr transcendental . $a,b$ $A$ $b$ $a^{b}$

Formulări echivalente pentru logaritmi (baza logaritmului este aleasă arbitrar) [3] :

Dacă - numere algebrice , care nu sunt egale cu zero sau unu, atunci - fie număr rațional , fie număr transcendental . $a,b$ $\log(b)/\log(a)$

Dacă sunt independenți liniar în câmpul numerelor raționale , atunci sunt și independenți liniar în câmpul numerelor algebrice . $\log(a),\log(b)$

Pentru o generalizare a ultimei formulări, vezi articolul Teoria numerelor transcendentale .

Valorile pot fi nu numai numere reale , ci și complexe ; întrucât gradul complex este multivaloric, se subliniază mai ales în formularea: orice valoare . $a,b$
Dacă eliminăm cerința care au fost numere algebrice , teorema va fi incorectă. Exemplu: $a,b$

{\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2} }\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.

Din exemplu, ținând cont de teoremă, este, de asemenea, evident că este un număr transcendental.

{{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}

Teorema implică transcenderea unor constante matematice importante .

Constanta Gelfond-Schneider și rădăcina pătrată a acesteia deja menționate mai sus : $2^{{{\sqrt {2))))$ ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.$
constanta lui Gelfond și $e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23,14069263\ldots$ $i^{i}=\left(e^{i\pi /2}\right)^{i}=e^{-\pi /2}=0,207879576\ldots .$

↑ Gelfond A. O. Sur le septième problème de Hilbert // Proceedings of the Academy of Sciences of the URSS. Seria VII. Catedra de Științe Matematice și Naturii. - M. , 1934. - Emisiune. 4 . - S. 623-634 . Arhivat din original pe 9 august 2018.
↑ Schneider, Theodor . Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen, Teil 1,2, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, volumul 172, 1934, pp. 65-69, 70-74.
↑ Feldman .

Gelfond A. O. Numere transcendentale și algebrice. - M. : GITTL, 1952. - 224 p.
Număr transcendental // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1985. - T. 5.
A șaptea problemă a lui Feldman N.I. Hilbert. - M. : Editura Universității de Stat din Moscova, 1982. - 312 p.
Baker, Alan. Teoria numerelor transcendentale. - Cambridge University Press , 1975. - ISBN 0-521-20461-5 .
Lang, Serge. Introducere în numerele transcendentale. - Addison-Wesley, 1966. - ISBN 0-521-20461-5 .

Jukov A. Numere algebrice și transcendentale . Preluat: 9 august 2017. (nedefinit)
Feldman N. Numere algebrice și transcendentale . Preluat: 9 august 2017. (nedefinit)
O demonstrație a teoremei Gelfond-Schneider
Hyun Seok Lee. Despre teoria transcendenței cu puțină istorie, rezultate noi și probleme deschise . Preluat: 9 august 2017. (nedefinit)
Waldschmidt, Michel (2001). Metoda Gel'fond-Schneider // Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 .
Weisstein, Eric W. Teorema Gelfond-Schneider (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .