Teorema Lasker-Noether afirmă că fiecare ideal al unui inel noetherian poate fi scris ca o intersecție finită a idealurilor primare . O astfel de reprezentare a idealului se numește descompunere primară . În cazul unui domeniu ideal principal , aceasta este echivalentă cu o reprezentare ca o intersecție finită (sau produs ) a puterilor idealurilor prime , adică generalizează teorema fundamentală a aritmeticii . În 1905 teorema a fost demonstrată de Emanuel Lasker în cazul special al inelelor polinomiale sau al serii de puteri convergente ; cazul general al teoremei a fost demonstrat de Emmy Noether în 1921.
Teorema poate fi generalizată la module, caz în care afirmă că orice submodul al unui modul generat finit peste un inel noetherian poate fi reprezentat ca o intersecție finită a submodulelor primare . Această afirmație este o generalizare a descompunerii în factori primari din teorema structurii pentru module finit generate pe domenii ale idealurilor principale .
Primul algoritm pentru găsirea unei descompunere primară într-un inel polinomial a fost publicat de Greta Hermann , o studentă a lui Noether .
Fie R un inel comutativ , M și N module peste el .
Teorema Lasker- Noether pentru module afirmă că fiecare submodul al unui modul generat finit peste un inel Noetherian este o intersecție finită a submodulelor primare. În cazul inelelor, această teoremă afirmă că fiecare ideal al unui inel noetherian este o intersecție finită a idealurilor primare.
Formulare echivalentă: fiecare modul generat finit peste un inel Noetherian este un submodul al unui produs finit al modulelor coprimare.
Teorema Lasker-Noether rezultă imediat din următoarele trei fapte:
În această secțiune, cuvântul „modul” înseamnă „un modul finit generat peste un inel noetherian R ”.
Se spune că o descompunere primară a unui submodul M al unui modul N este minimă dacă implică cel mai mic număr posibil de submodule primare. Pentru orice descompunere minimă, idealurile prime asociate ale componentelor primare sunt definite în mod unic - acestea sunt idealurile prime asociate ale modulului N/M . Mai mult, componentele primare corespunzătoare idealurilor prime minime asociate (adică cele care nu conțin alte numere prime asociate) sunt, de asemenea, definite în mod unic.
Exemplu: fie N = R = k [ x , y ] pentru un câmp k , iar M idealul ( xy , y 2 ). Atunci M are două descompuneri primare minime distincte: M = ( y ) ∩ ( x , y 2 ) = ( y ) ∩ ( x + y , y 2 ). Idealul prim minim asociat este ( y ), al doilea ideal prim asociat ( x , y ) nu este minim.