Teorema lui Levy privind convergența monotonă

Teorema de convergență monotonă ( teorema lui Beppo Levy ) este o teoremă din teoria integrării Lebesgue care este de o importanță fundamentală pentru analiza funcțională și teoria probabilității , unde servește ca instrument pentru demonstrarea multor afirmații. Dă una dintre condițiile în care se poate trece la limita sub semnul integralei Lebesgue [1] , teorema ne permite să demonstrăm existența unei limite integrabile pentru unele secvențe funcționale mărginite.

Diverse formulări din analiza funcțională

În cele ce urmează , denotă spațiul funcțiilor integrabile pe un spațiu cu măsură . Măsura nu trebuie să fie finită. Pentru toate integralele de mai jos, aria de integrare este întregul spațiu . $L_{1}(X,\mu )$ $(X,\mu )$ $X$

Teorema lui Levi (cu privire la limita monotonă a funcțiilor integrabile). Fie o succesiune monoton nedescrescătoare de funcții integrabile pe , i.e. $f_{n}\in L_{1}(X,\mu )$ $X$

f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x)

pentru toti si .

n\în {\mathbb {N}}

x\în X

Dacă integralele lor sunt mărginite între ele:

\int f_{n}(x)d\mu \leqslant K

Apoi:

există o limită finită aproape peste tot (adică funcțiile converg punctual către o funcție aproape peste tot pe ); $\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x):=f(x)$ $f_{n}(x)$ $f(x)$ $X$
funcția limită este integrabilă pe , adică ; $f(x)$ $X$ $f\in L_{1}(X,\mu )$
funcțiile converg către o funcție în medie, adică conform normei de spațiu ; $f_{n}(x)$ $f(x)$ $L_{1}(X,\mu )$
să ducem trecerea la limită sub semnul integral:

\int f(x)d\mu =\lim \limits _{n\to \infty }\int f_{n}(x)d\mu

O altă formă a teoremei lui Levy se referă la integrarea termen cu termen a seriilor nenegative:

Teorema lui Levy (cu privire la integrarea termen cu termen a seriilor nenegative). Fie funcții nenegative integrabile pe . Dacă integralele sumelor parțiale ale seriei sunt mărginite în agregat $\varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )$ $X$

\int \sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)d\mu \leqslant C

apoi

seria converge aproape peste tot către o valoare finită; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
suma seriei este o funcție integrabilă; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
succesiunea sumelor parțiale ale unei serii converg la suma ei în norma spațială ; $L_{1}(X,\mu )$
integrarea termen cu termen a seriei funcționale este admisibilă:

\int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{ k}(x)d\mu

Prima și a doua formă ale teoremei trec una în alta când , sau . Cu toate acestea, a doua formă permite următoarea extindere a integrării seriilor funcționale, nu neapărat de semn constant: $f_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)$ $\varphi _{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)$

Teorema lui Levi (cu privire la integrarea termen cu termen a serii funcționale). Fie funcții integrabile pe . Dacă seria converge $\varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )$ $X$

\sum _{k=1}^{\infty }\int |\varphi _{k}(x)|d\mu <\infty

apoi

seria converge absolut aproape peste tot către o valoare finită; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
suma seriei este o funcție integrabilă; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
succesiunea sumelor parțiale ale unei serii converg la suma ei în norma spațială ; $L_{1}(X,\mu )$
integrarea termen cu termen a seriei funcționale este admisibilă:

\int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{ k}(x)d\mu

Pentru a obține teorema lui Lévy în această formă, trebuie să aplicați teorema de convergență majoră a lui Lebesgue, deoarece sumele parțiale ale seriei admit o majorantă integrabilă :

\left|\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)\right|\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }|\varphi _{ k}(x)|=\varphi (x)

Formulare din teoria probabilității

Deoarece așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este definită ca integrala sa Lebesgue în spațiul rezultatelor elementare , teorema de mai sus este transferată în teoria probabilității . Fie o secvență monotonă de a.s nenegative. variabile aleatoare integrabile. Apoi $\Omega$ $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$

{\mathbb {E}}\left[\lim \limits _{{n\to \infty }}X_{n}\right]=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb { E}}X_{n}

Vezi și

Note

↑ Adică, oferă o condiție în care convergența și egalitatea integralelor urmează de la convergența șirului funcțional la limita însumabilă . $f_{n}(x)\rightarrow f(x)$ $\lim _{{n\to \infty }}\int f_{n}(x)dx=\int f(x)dx$

Literatură

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Elemente de teoria funcţiilor şi analiză funcţională. - ed. al patrulea, revizuit. — M .: Nauka , 1976 . — 544 p.
Trenogin V. A. Analiza functionala. — M .: Nauka , 1980 . — 495 p.
Shilov G.E. Analiza matematică. Curs special. - al 2-lea. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 p.