Teorema lui Montel asupra unei familii compacte de funcții

Teorema lui Montel privind condițiile de compactitate pentru o familie de funcții holomorfe sau principiul compactității:

Fie o familie infinită de funcții holomorfe în domeniul planului complex ; atunci, pentru ca această familie să fie precompactă, adică pentru ca orice succesiune să poată selecta o subsecvență care converge uniform local în interiorul , este necesar și suficient ca familia să fie mărginită uniform local în interiorul . $\{f_{\alpha }(z)\}$ $D$ $z$ $f_{\alpha _{i)}$ $D$ $D$

Teorema lui Montel este generalizată la domenii din spațiul , . $D$ ${\mathbb C}^{n}$ $n>1$

Teorema lui Montel este o consecință a teoremei Arzela-Ascoli , a estimărilor asupra derivatelor unei funcții analitice (ineegalitatea lui Cauchy) și a separabilității oricărui domeniu în . ${\mathbb C}^{n}$

Consecințele

O consecință a teoremei lui Montel este următorul fapt: Dacă domeniul se află compact în domeniul , atunci operatorul de restricție la domeniul D al funcțiilor holomorfe în G este compact (în topologia convergenței locale uniforme a funcțiilor). $D$ $G$
Teorema lui Montel este folosită pentru a demonstra teorema de mapare conformă a lui Riemann (aplicarea conformă necesară este căutată ca una care maximizează modulul derivatei la un moment dat, iar existența unei astfel de mapări rezultă din continuitatea acestei funcționale și din compactitatea familie de funcții cu valori în cercul unității).