Teorema lui Sylvester

Teorema lui Sylvester este un rezultat clasic al geometriei combinatorii pe configurații de linii în plan.

Formulare

Un număr finit de puncte este dat pe plan și astfel încât orice linie care trece prin două dintre punctele date conține încă un punct dat. Atunci toate punctele date se află pe aceeași linie.

Despre dovezi

Teorema lui Sylvester este renumită pentru că este destul de dificil de demonstrat direct, iar dovada simplă este să mergem la reformularea sa duală :

Dacă o mulțime finită de drepte este dată pe un plan astfel încât încă una dintre ele trece prin orice punct de intersecție a două drepte date, atunci toate trec printr-un punct sau sunt paralele.

Dovada reformulării duale

Fie ca una dintre liniile date să nu treacă prin unul dintre punctele de intersecție . Aflați punctul de intersecție și dreapta pentru care distanța este mai mică decât de la până la . Deoarece numărul de intersecții este finit, aceasta va da o contradicție. Cazul în care trece o linie dreaptă, nu paralelă , este prezentat în figură. Dacă linia care trece prin a treia linie este paralelă cu linia , atunci considerăm un triunghi ale cărui linii medii formează un triunghi , unde și sunt punctele de intersecție a două drepte care trec prin linie . Dacă a treia linie care trece prin nu intersectează segmentul , atunci distanța de la punct la acesta este mai mică decât până la . În mod similar, dacă a treia linie care trece prin nu intersectează segmentul , atunci distanța de la punct la acesta este mai mică decât până la . Dacă a treia linie care trece prin intersectează segmentul și a treia linie care trece prin intersectează segmentul , atunci există un punct de intersecție al acestor drepte. Dacă nu coincide cu , atunci este mai aproape de o linie dreaptă decât . Dacă coincide cu , atunci îi aplicăm raționamentul de mai sus și la linie . Va apărea un triunghi , ale cărui linii de mijloc formează un triunghi . Înlocuind un triunghi cu un triunghi în raționamentul nostru și procedând într-un mod similar, obținem o contradicție cu caracterul finit al mulțimii. ■ $\ell$ $P$ $P$ $\ell$ $P$ $\ell$ $P$ $\ell$ $A'B'P'$ $ABP$ $A$ $B$ $P$ $\ell$ $A$ $BP'$ $P$ $\ell$ $B$ $AP'$ $P$ $\ell$ $A$ $BP'$ $B$ $AP'$ $P'$ $\ell$ $P$ $P'$ $\ell$ $PP''P'''$ $ABP'$ $ABP$ $P''P'A$

Dovada directă

Dovada directă a fost găsită cu jumătate de mai târziu Kelly

Să presupunem că punctele acestei mulțimi sunt necoliniare. Alegeți o pereche: punctul și linia ei , pentru care distanța de la până la este minimul pozitiv; o astfel de pereche există datorită caracterului finit al mulţimilor de puncte şi linii de legătură. Notăm trei puncte: , și din setul dat. Fie punctul de baza perpendicularei coborâte de la la . Fără a pierde generalitatea, putem presupune că punctele , și urmează în ordinea indicată; în timp ce punctele și pot coincide. Atunci distanța de la punct la linie este pozitivă și mai mică decât de la până la . Contradicţie. ■ $A$ $d$ $A$ $d$ $d$ $B$ $C$ $D$ $P$ $A$ $d$ $P$ $B$ $C$ $d$ $P$ $B$ $B$ $AC$ $A$ $d$

Notă

Deoarece demonstrația nu folosește condiția ca toate punctele să se afle într-un plan, teorema lui Sylvester poate fi extinsă la mulțimi dintr-un spațiu euclidian de dimensiune arbitrară.

Vezi și

Teorema lui De Bruijn-Erdő

Literatură

Aigner M. Ziegler G. Dovezi din carte. Cele mai bune dovezi din vremea lui Euclid până în zilele noastre. - Editura „Laboratorul de Cunoaștere” (fostă „BINOM. Laboratorul de Cunoaștere”), 2014. - ISBN 978-5-9963-2736-2 . (Capitolul 10).