Teorema Feit-Thompson

Teorema Feit-Thompson sau teorema de ordin impar afirmă că orice grup finit de ordin impar este rezolvabil . Teorema a fost demonstrată de Walter Veit și John Griggs Thompson [1] [2] .

Istorie

Diferența dintre ordinele par și impare pe care o arată acest rezultat sugerează, ca corolar, că grupurile simple de ordine impară nu există.

—  ( William Burnside , p. 503 Nota M)

William Burnside [3] a presupus că orice grup finit simplu non-abelian are o ordine pară. Richard Brouwer [4] a presupus, folosind centralizatorii involuțiilor grupurilor simple ca bază pentru clasificarea grupurilor simple finite ca în Teorema Brouwer-Fowler , că există doar un număr finit de grupuri simple finite cu un centru dat de involuție . Un grup de ordine impară nu are involuții, așa că pentru a îndeplini planul lui Brouwer este mai întâi necesar să arătăm că grupurile simple finite neciclice nu au niciodată o ordine impară. Acest lucru este echivalent cu a demonstra că grupurile de ordin impar sunt rezolvabile, ceea ce Thompson și Feit au demonstrat.

Atacul asupra conjecturii lui Burnside a fost început de Suzuki [5] , care a studiat grupurile CA [6] . Acestea sunt grupurile în care centralizatorul oricărui element non-trivial este abelian . În munca sa, el a arătat că toate grupurile CA de ordine impară sunt rezolvabile. (Mai târziu el a clasificat toate grupurile CA simple și toate grupurile simple în care centralizatorul oricărei involuții are un subgrup normal 2-Sylow, găsind în cursul clasificării o familie omisă de grupuri simple de tip Lie , care se numește acum Grupul Suzuki .)

Feit, Hall și Thompson [7] au extins munca lui Suzuki la familia grupurilor CN . Acestea sunt grupuri în care centralizatorul oricărui element netrivial este nilpotent [8] . Ei au arătat că orice grup CN de ordin impar este rezolvabil. Dovada lor este similară cu cea a lui Suzuki. Dovada a durat aproximativ 17 pagini, ceea ce era foarte lung pentru teoria grupurilor la acea vreme.

Teorema Feit-Thompson poate fi văzută ca următorul pas în acest proces - ei au arătat că nu există un grup simplu neciclic de ordine impară în care orice subgrup adecvat să fie rezolvabil . Acest lucru demonstrează că orice grup finit de ordin impar este rezolvabil, deoarece contraexemplul minim trebuie să fie un grup simplu în care fiecare subgrup adecvat este rezolvabil. Deși schema demonstrației este apropiată de cea a demonstrațiilor de teoreme pentru grupurile CA și CN, detaliile sunt mult mai complicate, astfel încât articolul final a avut 255 de pagini de text.

Semnificația probei

Teorema Feit-Thompson a arătat că clasificarea grupurilor simple finite prin intermediul centralizatorilor de involuție este posibilă, deoarece orice grup simplu non-Abelian are o involuție. Multe dintre tehnicile utilizate în demonstrarea teoremei, și mai ales ideea de analiză locală , au fost ulterior dezvoltate în metode utilizate în clasificare. Poate cel mai revoluționar aspect al dovezii a fost lungimea ei – înainte de articolul lui Feith și Thompson, lucrările rare în teoria grupurilor aveau mai mult de câteva pagini și puteau fi studiate în general într-o zi. Pe măsură ce cercetătorii în teoria grupurilor și-au dat seama că expozițiile lungi ar putea funcționa, au început să apară sute de lucrări de o pagină. Unii chiar depășesc lucrarea lui Feit și Thompson, de exemplu lucrarea lui Michael Aschbacher și Stephen D. Smith despre grupurile cvasi-subțiri s are 1.221 de pagini.

Revizuirea dovezii

Mulți matematicieni au simplificat părți din demonstrația originală a lui Feith și Thompson. Cu toate acestea, toate aceste îmbunătățiri sunt într-un anumit sens locale, structura principală a prezentării rămâne aceeași, dar unele detalii ale dovezii au fost simplificate.

O dovadă simplificată a fost publicată în două cărți, o carte de Bender și Glauberman [9] , care acoperă totul, cu excepția teoriei caracterelor, și o carte de Peterfalvi [10] , care acoperă teoria caracterului. Această dovadă revizuită rămâne foarte complexă și mai lungă decât dovada originală, dar este scrisă într-un stil mai ușor.

Dovada formală finală, verificată folosind sistemul automat de demonstrare a teoremei Coq , a fost anunțată în septembrie 2012 de Georges Gontier, care a lucrat cu un grup de angajați la Microsoft Research și INRIA [11] .

Schema de probă

În loc de o descriere directă a teoremei Feit-Thompson, este mai ușor să descrii teorema CA a lui Suzuki și apoi să explici unele dintre completările necesare pentru teorema CN și teorema de ordin impar. Dovada poate fi împărțită în trei etape. Fie G un grup simplu non-abelian (minimal) de ordin impar care satisface condițiile teoremei CA. Pentru o prezentare mai detaliată a articolului despre ordinea impară, vezi articolul lui Thompson [12] , Gorenstein [13] sau Glauberman [14] .

Pasul 1. Analiza locală a structurii grupului G

În cazul CA, analiza este simplă, întrucât relația „ a comută cu b ” este o relație de echivalență pe elemente de non-identitate. Astfel, elementele sunt împărțite în clase de echivalență, iar fiecare clasă de echivalență este mulțimea elementelor netriviale ale subgrupului abelian maxim. Normalizatorii acestor subgrupuri abeliene maxime se dovedesc a fi exact subgrupurile proprii maxime ale grupului G. Acești normalizatori sunt grupuri Frobenius pentru care teoria caracterelor este destul de transparentă și potrivită pentru manipulare folosind caracterul inductiv . De asemenea, mulțimea divizorilor primi| G |se descompune după numerele prime care împart ordinele diferitelor clase ale subgrupurilor abeliene maxime. O abordare care împarte divizorii primi | G | conform claselor de co-ocurență ale unor subgrupuri Hall (un subgrup Hall este un subgrup a cărui ordine și indice sunt coprime), care corespund subgrupurilor maxime ale grupului G (până la co-ocurență), se repetă în demonstrația ca teorema CN Feit-Hall-Thompson, la fel și teoremele de ordin impar Feit-Thompson. Fiecare subgrup maxim M are un subgrup Hall nilpotent M σ cu un normalizator conținut în M ​​, a cărui ordine este divizibilă cu câteva numere prime care formează mulțimea . Două subgrupuri maxime sunt adiacente dacă și numai dacă mulțimile sunt aceleași, iar dacă nu sunt adiacente, mulțimile sunt disjunse. Orice număr prim care împarte ordinea grupului G apare într-o mulțime . Astfel, divizorii primi de ordinul grupului G sunt împărțiți în seturi corespunzătoare claselor subgrupurilor maxime. Dovada cazului CN este deja mult mai complicată decât cazul CA - principala problemă suplimentară este dovada că două subgrupuri Sylow diferite se intersectează la elementul de identitate. Această parte a teoremei ordinului impar are peste 100 de pagini de jurnal. Pasul cheie este demonstrarea teoremei unicității lui Thompson , care afirmă că subgrupurile abeliene de rang normal de cel puțin 3 sunt conținute într-un subgrup maxim unic, ceea ce înseamnă că numerele prime p pentru care subgrupurile p Sylow au rang normal de cel mult 2 ar trebui să fie fi luate în considerare separat. Mai târziu, Bender a simplificat demonstrarea teoremei unicității folosind metoda lui Bender . În timp ce în cazul CN subgrupurile maxime rezultate ale lui M rămân grupuri Frobenius, subgrupurile maxime care apar în demonstrarea teoremei de ordin impar pot să nu aibă o astfel de structură, iar analiza structurii și relațiilor lor dă 5 tipuri posibile de subgrupuri maxime. , care sunt notate ca tipurile I, II , III, IV, V. Subgrupurile de tip I sunt subgrupuri de „tip Frobenius”, o ușoară generalizare a grupului Frobenius și, de fapt, se arată a fi grupuri Frobenius mai târziu în demonstrație. Au structura , unde este cel mai mare subgrup Hall normal nilpotent și U are un subgrup cu același exponent, deci este un grup Frobenius cu nucleu . Tipurile II, III, IV, V sunt toate grupuri în 3 pași cu structura , unde este subgrupul generat al grupului M . Împărțirea în tipurile II, III, IV și V depinde de structura și încadrarea subgrupului U după cum urmează:

Toate, cu excepția a două clase de subgrupuri maxime, sunt de tip I, dar mai pot exista două clase de subgrupuri maxime, una de tip II și cealaltă de tip II, III, IV sau V.

Pasul 2. Teoria caracterelor grupului G

Dacă X este un caracter ireductibil al normalizatorului H al unui subgrup abelian maxim A al unui CA-grup G care nu conține A în nucleul său, putem obține din X un caracter Y al lui G care nu este neapărat ireductibil. Din structura cunoscută a grupului G , este ușor să găsiți valorile caracterului Y pentru toate elementele grupului G , cu excepția unuia. Rezultă că atunci când X 1 și X 2 sunt două caractere ireductibile ale normalizatorului H , iar Y 1 și Y 2 sunt caracterele induse corespunzătoare, atunci Y 1 − Y 2 este complet definit și calculul normei sale arată că acesta este diferența a două caractere ireductibile ale grupului G (uneori sunt numite caracterele excepționale ale grupului G pentru normalizatorul H ). Calculul arată că fiecare caracter ireductibil non-trivial al grupului G apare exact o dată ca un caracter excepțional asociat cu normalizatorul unui subgrup abelian maxim al grupului G. Un argument similar (cu înlocuirea subgrupurilor Hall abeliene cu subgrupuri Hall nilpotente) funcționează în demonstrarea teoremei CN. Totuși, în demonstrarea teoremei de ordine impară, argumentul pentru construirea caracterelor grupului G din caracterele subgrupurilor este mai subtil și folosește izometria între inelele de caractere mai degrabă decât caracterele induse, deoarece subgrupurile maxime au structuri mai complexe. și sunt încorporate într-un mod mai puțin transparent. Teoria caracterelor excepționale este înlocuită cu teoria seturilor coerente de caractere pentru a extinde izometria Deid. În linii mari, această teorie spune că izometria Dade poate fi extinsă dacă grupul nu conține o structură definită. Peterfalvy [15] descrie o versiune simplificată a teoriei caracterelor (bazată pe articolele lui Grandfather, Sibley și Peterfalvy).

Pasul 3. Contradicția finală

La pasul 2, avem o descriere completă și exactă a tabelului de caractere al grupului CA G . Prin urmare, folosind faptul că G are o ordine impară, informațiile necesare sunt disponibile pentru a obține estimarea | G | și ajungând la ipoteza că G este prim. Această parte a dovezii funcționează în mod similar pentru cazul grupurilor CN.

În demonstrarea teoremei Feith-Thompson, totuși, acest pas este (ca de obicei) mult mai dificil. Teoria caracterelor exclude doar unele configurații posibile rămase după pasul 1. În primul rând, Feith și Thompson au arătat că subgrupurile maxime de tip I sunt toate grupurile Frobenius. Dacă toate subgrupurile maxime sunt de tip I, atunci argumente precum cazul CN arată că G nu poate avea un grup minim simplu de ordin impar, deci există exact două cazuri de subgrupuri maxime de tip II, III, IV sau V. Majoritatea restul demonstrația se concentrează pe aceste două tipuri de subgrupuri maxime S și T și pe legătura dintre ele. Alte argumente ale teoriei caracterelor arată că nu pot fi de tip IV sau V. Cele două subgrupuri au o structură definită - subgrupul S are o ordine și constă din toate automorfismele câmpului finit subiacent de ordinul p q al formei , unde a are norma 1 și este un automorfism al unui câmp finit, unde p și q sunt numere prime diferite. Subgrupul maxim T are o structură similară, cu p și q schimbate . Subgrupurile S și T sunt strâns legate. Dacă acceptăm că p > q , se poate arăta că un subgrup ciclic S de ordin este conjugat cu un subgrup al unui subgrup ciclic T de ordin . (În special, primul număr îl împarte pe al doilea, deci dacă conjectura Feit-Thompson este adevărată , ar urma că acest lucru nu se poate întâmpla, iar demonstrația ar putea fi încheiată în acest moment. Cu toate acestea, conjectura rămâne nedemonstrată.)

După aplicarea teoriei caracterelor grupului G , concluzionăm că G are următoarea structură: există numere prime p > q astfel încât coprime la p −1 și G are o subgrupă dată de produsul semidirect PU , unde P este grupul aditiv al un câmp finit de ordin și U sunt elementele sale cu norma 1. Cu toate acestea, grupul G are un subgrup abelian Q de ordinul coprim la p care conține un element y astfel încât P 0 normalizează Q și normalizează U , unde este grupul aditiv al unui câmp finit de ordin p . (Pentru p =2, o configurație similară apare în grupul , cu PU fiind subgrupul Borel al matricilor triunghiulare superioare și Q fiind subgrupul de ordinul 3 generat de y =(01
11).) Pentru a exclude acest caz final, Thompson folosește niște manipulări complexe terifiante cu generatoare și relații , care au fost ulterior simplificate de Peterfalvi [16] , ale cărui argumente sunt date în articolul de Bender și Glauberman [9] . Dovada verifică o mulțime de elemente a într-un câmp finit de ordin p q astfel încât a și 2 – a au norma 1. În primul rând, verificăm că această mulțime are cel puțin un element altul decât 1. Apoi există argumente destul de complicate folosind generatoare și conexiuni din grupa G , arată că mulțimea este închisă luând inversul. Dacă a este într-o mulțime și nu este egal cu 1, atunci polinomul N((1– a ) x +1)–1 are gradul q și are cel puțin p rădăcini distincte date de elementele x din F p , folosind faptul care mapează mulțimea în sine, deci p ≤ q , ceea ce contrazice ipoteza p > q .

Utilizarea lui impar

Faptul că ordinea lui G este impar este folosit în mai multe locuri în demonstrație după cum urmează [12] .

Note

  1. ^ Feit , Thompson, 1962 .
  2. ^ Feit , Thompson, 1963 .
  3. ↑ Burnside, 1911 , p. 503 Nota M.
  4. ↑ Brauer, 1957 .
  5. ↑ Suzuki, 1957 .
  6. ↑ CA = C entralizer (centralizator) și A belian (Abelian).
  7. ^ Feit , Hall, Thompson, 1960 .
  8. ↑ CN = C entralizator (centralizator) și N ilpotent (nilpotent).
  9. ↑ 1 2 Bender, Glauberman, 1994 .
  10. ↑ Peterfalvi, 2000 , p. partea I.
  11. ↑ Msr-inria, 2012 .
  12. ↑ 12 Thompson , 1963 .
  13. ↑ Gorenstein, 1980 .
  14. ↑ Glauberman, 1999 .
  15. ↑ Peterfalvi, 2000 .
  16. ↑ Peterfalvi, 1984 .

Literatură